Funkcija nule. Nula funkcije Kako odrediti nule funkcije
Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova. Funkcija - varijabla zavisnost at iz varijable x, ako je svaka vrijednost X odgovara jednoj vrijednosti at. Varijabilna X naziva nezavisna varijabla ili argument. Varijabilna at nazvana zavisna varijabla. Sve vrijednosti nezavisne varijable (varijable x) formiraju domenu definicije funkcije. Sve vrijednosti koje zavisna varijabla uzima (varijabla y), formira raspon vrijednosti funkcije.
Funkcijski graf nazvati skup svih tačaka koordinatne ravni, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije, odnosno vrijednostima varijable su iscrtane duž ose apscise x, a vrijednosti varijable su iscrtane duž ordinatne ose y. Da biste grafički prikazali funkciju, morate znati svojstva funkcije. Glavna svojstva funkcije bit će razmotrena u nastavku!
Za izradu grafa funkcije preporučujemo korištenje našeg programa - Grafičke funkcije na mreži. Ako imate bilo kakvih pitanja dok proučavate materijal na ovoj stranici, uvijek ih možete postaviti na našem forumu. Također na forumu će vam pomoći u rješavanju zadataka iz matematike, hemije, geometrije, teorije vjerovatnoće i mnogih drugih predmeta!
Osnovna svojstva funkcija.
1) Domen funkcije i raspon funkcija.
Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan.
Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.
U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.
2) Nule funkcije.
Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.
3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.
Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.
4) Monotonost funkcije.
Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
5) Parna (neparna) funkcija.
Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.
Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
6) Ograničene i neograničene funkcije.
Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.
7) Periodičnost funkcije.
Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule takav da je za bilo koji x f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).
Nakon što ste proučili ova svojstva funkcije, možete lako istražiti funkciju i, koristeći svojstva funkcije, možete izgraditi graf funkcije. Također pogledajte materijal o tablici istinitosti, tablici množenja, periodnoj tablici, tabeli izvoda i tablici integrala.
Funkcija nule
Šta su funkcije nule? Kako analitički i grafički odrediti nule funkcije?
Funkcija nule- ovo su vrijednosti argumenata kod kojih je funkcija jednaka nuli.
Da biste pronašli nule funkcije date formulom y=f(x), potrebno je riješiti jednačinu f(x)=0.
Ako jednadžba nema korijena, funkcija nema nule.
1) Pronađite nule linearne funkcije y=3x+15.
Da biste pronašli nule funkcije, riješite jednačinu 3x+15 =0.
Dakle, nula funkcije je y=3x+15 - x= -5.
2) Pronađite nule kvadratne funkcije f(x)=x²-7x+12.
Da biste pronašli nule funkcije, riješite kvadratnu jednadžbu
Njeni korijeni x1=3 i x2=4 su nule ove funkcije.
3) Pronađite nule funkcije
Razlomak ima smisla ako je imenilac različit od nule. Dakle, x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. Odnosno, domen definicije date funkcije (DO)
Od korijena jednačine x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4, samo je x=-4 uključeno u domenu definicije.
Da biste pronašli nule funkcije date grafički, morate pronaći točke presjeka grafa funkcije sa osom apscise.
Ako graf ne siječe os Ox, funkcija nema nule.
funkcija čiji je graf prikazan na slici ima četiri nule -
U algebri se problem pronalaženja nula funkcije javlja i kao samostalan zadatak i pri rješavanju drugih problema, na primjer, prilikom proučavanja funkcije, rješavanja nejednačina itd.
www.algebraclass.ru
Pravilo nula funkcija
Osnovni pojmovi i svojstva funkcija
Pravilo (zakon) korespondencije. Monotonska funkcija .
Ograničene i neograničene funkcije. Kontinuirano i
diskontinuirane funkcije . Parne i neparne funkcije.
Periodična funkcija. Period funkcije.
Funkcija nule . Asimptota .
Domen definicije i raspon vrijednosti funkcije. U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva R . To znači da argument funkcije može uzeti samo one realne vrijednosti za koje je funkcija definirana, tj. takođe prihvata samo stvarne vrednosti. Gomila X sve važeće važeće vrijednosti argumenata x, za koji je funkcija y = f (x) je definiran, pozvan domenu funkcije. Gomila Y sve stvarne vrednosti y, koji funkcija prihvata, se poziva opseg funkcija. Sada možemo dati precizniju definiciju funkcije: pravilo (zakon) korespondencije između skupova X I Y , prema kojem za svaki element iz skupa X možete pronaći jedan i samo jedan element iz skupa Y, naziva se funkcija .
Iz ove definicije slijedi da se funkcija smatra definiranom ako:
— specificira se domen definicije funkcije X ;
— specificiran je opseg funkcije Y ;
— poznato je pravilo (zakon) korespondencije, i to takvo da za svaku
vrijednost argumenta, može se pronaći samo jedna vrijednost funkcije.
Ovaj zahtjev jedinstvenosti funkcije je obavezan.
Monotonska funkcija.
Ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x 1 i x 2 uslova x 2 > x 1 slijedi f (x 2) > f (x 1), zatim funkciju f (x) se zove povećanje; ako za bilo koji x 1 i x 2 uslova x 2 > x 1 slijedi f (x 2) 
Funkcija prikazana na slici 3 je ograničena, ali nije monotona. Funkcija na slici 4 je upravo suprotna, monotona, ali neograničena. (Objasnite ovo molim vas!).
Kontinuirane i diskontinuirane funkcije. Funkcija y = f (x) se zove kontinuirano u tački x = a, Ako:
1) funkcija je definirana kada x = a, tj. f (a) postoji;
2) postoji konačan limit lim f (x) ;
Ako barem jedan od ovih uvjeta nije ispunjen, funkcija se poziva eksplozivno u tački x = a .
Ako je funkcija kontinuirana tokom svima tačke njegovog domena definicije, onda se zove kontinuirana funkcija.
Parne i neparne funkcije. Ako za bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi sljedeće: f (— x) = f (x), tada se poziva funkcija čak; ako se desi: f (— x) = — f (x), tada se poziva funkcija odd. Grafikon parne funkcije simetrično oko Y ose(slika 5), graf neparne funkcije Sim metriku u odnosu na porijeklo(Sl. 6).
Periodična funkcija. Funkcija f (x) — periodično, ako tako nešto postoji ne-nula broj T zašto bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi sljedeće: f (x + T) = f (x). Ovo najmanje broj je pozvan period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične.
Primjer 1. Dokaži taj grijeh x ima period od 2.
Rješenje: Znamo da je grijeh ( x+ 2 n) = grijeh x, Gdje n= 0, ± 1, ± 2, …
Dakle, dodatak 2 n ne na sinusni argument
mijenja svoju vrijednost e. Postoji li drugi broj sa ovim?
Pretvarajmo se to P– takav broj, tj. jednakost:
vrijedi za bilo koju vrijednost x. Ali onda jeste
mjestu i na x= / 2, tj.
sin(/2 + P) = sin / 2 = 1.
Ali prema formuli redukcije sin (/ 2 + P) = cos P. Onda
iz posljednje dvije jednakosti slijedi da je cos P= 1, ali mi
znamo da je to istina samo kada P = 2 n. Od najmanjih
različit od nule broj od 2 n je 2, onda je ovaj broj
i postoji period greh x. To se može dokazati na sličan način kao 2
je također period za cos x .
Dokazati da su funkcije tan x i krevetac x imati menstruaciju.
Primjer 2. Koji je broj period funkcije sin 2 x ?
Rješenje: Uzmite u obzir grijeh 2 x= sin(2 x+ 2 n) = sin [ 2 ( x + n) ] .
Vidimo to dodavanje n na argument x, ne mijenja se
vrijednost funkcije. Najmanji broj različit od nule
od n je , pa je ovo period sin 2 x .
Funkcija nule. Poziva se vrijednost argumenta pri kojoj je funkcija jednaka 0 nula ( root) funkcija. Funkcija može imati više nula. Na primjer, funkcija y = x (x + 1) (x- 3) ima tri nule: x = 0, x = — 1, x= 3. Geometrijski null funkcija – ovo je apscisa tačke preseka grafa funkcije sa osom X .
Slika 7 prikazuje graf funkcije sa nulama: x = a , x = b I x = c .
Asimptota. Ako se graf funkcije neograničeno približava određenoj pravoj dok se udaljava od ishodišta, tada se ta prava naziva asimptota.
Tema 6. “Metoda intervala.”
Ako je f (x) f (x 0) za x x 0, tada se poziva funkcija f (x). kontinuirano u tački x 0.
Ako je funkcija kontinuirana u svakoj tački nekog intervala I, onda se zove kontinuirano u intervalu I (interval I se zove interval kontinuiteta funkcije). Grafikon funkcije na ovom intervalu je neprekidna linija, za koju kažu da se može "nacrtati bez podizanja olovke s papira".
Svojstvo kontinuiranih funkcija.
Ako je na intervalu (a ; b) funkcija f kontinuirana i ne nestaje, ona zadržava konstantan predznak na ovom intervalu.
Metoda za rješavanje nejednačina s jednom promjenljivom, intervalna metoda, zasniva se na ovom svojstvu. Neka je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu I i nestaje u konačnom broju tačaka u ovom intervalu. Svojstvom kontinuiranih funkcija, ove tačke dijele I na intervale, u svakom od kojih kontinuirana funkcija f(x) c održava konstantan predznak. Za određivanje ovog predznaka dovoljno je izračunati vrijednost funkcije f(x) u bilo kojoj tački iz svakog takvog intervala. Na osnovu ovoga dobijamo sledeći algoritam za rešavanje nejednačina metodom intervala.
Intervalna metoda za nejednakosti oblika
Intervalna metoda. Prosječan nivo.
Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit?
Linearna funkcija
Funkcija oblika naziva se linearna. Uzmimo funkciju kao primjer. Pozitivan je na 3″> i negativan na. Tačka je nula funkcije (). Pokažimo predznake ove funkcije na brojevnoj osi:
Kažemo da “funkcija mijenja predznak kada prolazi kroz tačku”.
Može se vidjeti da predznaci funkcije odgovaraju poziciji grafa funkcije: ako je graf iznad ose, znak je “ ”, ako je ispod njega “ ”.
Ako generaliziramo rezultirajuće pravilo na proizvoljnu linearnu funkciju, dobićemo sljedeći algoritam:
Kvadratna funkcija
Nadam se da se sjećate kako riješiti kvadratne nejednačine? Ako ne, pročitajte temu “Kvadratne nejednakosti”. Dozvolite mi da vas podsjetim na opći oblik kvadratne funkcije: .
Sada se prisjetimo koje znakove ima kvadratna funkcija. Njegov graf je parabola, a funkcija uzima znak " " za one u kojima je parabola iznad ose, a " " - ako je parabola ispod ose:
Ako funkcija ima nule (vrijednosti na kojima), parabola siječe os u dvije točke - korijene odgovarajuće kvadratne jednadžbe. Tako je os podijeljena na tri intervala, a predznaci funkcije se naizmjenično mijenjaju prilikom prolaska kroz svaki korijen.
Da li je moguće nekako odrediti znakove bez crtanja parabole svaki put?
Podsjetimo da se kvadratni trinom može faktorizirati:
Označimo korijene na osi:
Sjećamo se da se predznak funkcije može promijeniti samo kada prolazi kroz korijen. Koristimo se ovom činjenicom: za svaki od tri intervala na koje je os podijeljena korijenima, dovoljno je odrediti predznak funkcije u samo jednoj proizvoljno odabranoj točki: u preostalim točkama intervala predznak će biti isti .
U našem primjeru: na 3″> oba izraza u zagradama su pozitivna (zamjena, na primjer: 0″>). Stavili smo znak " " na osu:
Pa, kada (zamjena, na primjer), obje zagrade su negativne, što znači da je proizvod pozitivan:
To je ono što je intervalna metoda: znajući predznake faktora na svakom intervalu, određujemo predznak cijelog proizvoda.
Razmotrimo i slučajeve kada funkcija nema nule ili samo jedan.
Ako ih nema, onda nema ni korijena. To znači da neće biti „prolaska kroz root“. To znači da funkcija uzima samo jedan znak na cijeloj brojevnoj pravoj. Može se lako odrediti zamjenom u funkciju.
Ako postoji samo jedan korijen, parabola dodiruje os, tako da se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz korijen. Koje pravilo možemo smisliti za takve situacije?
Ako faktorizujete takvu funkciju, dobit ćete dva identična faktora:
I svaki izraz na kvadrat nije negativan! Dakle, predznak funkcije se ne mijenja. U takvim slučajevima ćemo korijen, pri prolasku kroz koji se znak ne mijenja, istaknuti zaokružujući ga kvadratom:
Nazvat ćemo takav korijen višestruki.
Intervalna metoda u nejednačinama
Sada se svaka kvadratna nejednačina može riješiti bez crtanja parabole. Dovoljno je samo postaviti predznake kvadratne funkcije na osu i odabrati intervale u zavisnosti od predznaka nejednakosti. Na primjer:
Izmjerimo korijene na osi i postavimo znakove:
Potreban nam je dio ose sa znakom " "; budući da nejednakost nije stroga, sami korijeni su također uključeni u rješenje:
Sada razmotrite racionalnu nejednakost - nejednakost, čije su obje strane racionalni izrazi (vidi “Racionalne jednačine”).
primjer:
Svi faktori osim jednog su ovdje „linearni“, odnosno sadrže varijablu samo na prvi stepen. Takvi linearni faktori su nam potrebni za primjenu intervalne metode - predznak se mijenja kada prođe kroz njihove korijene. Ali množitelj uopće nema korijen. To znači da je uvijek pozitivan (uvjerite se sami), pa stoga ne utiče na predznak cijele nejednakosti. To znači da možemo podijeliti lijevu i desnu stranu nejednakosti s njom i tako je se riješiti:
Sada je sve isto kao što je bilo sa kvadratnim nejednačinama: odredimo u kojim tačkama svaki od faktora postaje nula, označimo te tačke na osi i rasporedimo znakove. Želeo bih da vam skrenem pažnju na jednu veoma važnu činjenicu:
U slučaju parnog broja radimo isto kao i prije: zaokružujemo tačku kvadratom i ne mijenjamo predznak pri prolasku kroz korijen. Ali u slučaju neparnog broja, ovo pravilo ne vrijedi: znak će se i dalje mijenjati prilikom prolaska kroz korijen. Stoga ne radimo ništa dodatno s takvim korijenom, kao da nije višestruki. Gornja pravila važe za sve parne i neparne snage.
Šta da napišemo u odgovoru?
Ako je izmjena znakova prekršena, morate biti vrlo oprezni, jer ako nejednakost nije stroga, odgovor bi trebao uključivati sve osenčene tačke. Ali neki od njih se često izdvajaju, odnosno nisu uključeni u zasjenjeno područje. U ovom slučaju, dodajemo ih odgovoru kao izolovane tačke (u vitičastim zagradama):
Primjeri (odlučite sami):
odgovori:
- Ako je među faktorima jednostavan, to je korijen, jer se može predstaviti kao.
.
Vrijednosti argumenata z na kojoj f(z) ide na nulu poziva. nultu tačku, tj. Ako f(a) = 0, dakle a - nulta tačka.
Def. Dot A pozvao nulti redn
, Ako
FKP se može predstaviti u obliku f(z) = , gdje 
analitička funkcija i 
0.
U ovom slučaju, u Taylorov red ekspanzija funkcije (43), prva n koeficijenti su nula
=
=
itd. Odrediti red nule za 
i (1 –cos z) at z
=
0
=
=
nula 1. reda
1 – cos z
=
=
nula 2. reda
Def. Dot z
=
pozvao tačka u beskonačnost I nula funkcije f(z), Ako f(
) = 0. Takva funkcija se može proširiti u niz negativnih potencija z
: f(z)
=
. Ako
prvo n
koeficijenti su jednaki nuli, onda dolazimo do nulti red n
u tački u beskonačnosti: f(z)
= z
-
n
.
Izolirane singularne tačke se dijele na: a) uklonjive singularne tačke; b) polove redan; V) u suštini singularne tačke.
Dot A pozvao uklonjiva singularna tačka funkcije f(z) ako na z 
a
lim f(z)
= sa - konačan broj .
Dot A pozvao stub redan
(n
1) funkcije f(z), ako je inverzna funkcija 
=
1/
f(z) ima nulti red n u tački A. Takva funkcija se uvijek može predstaviti kao f(z)
=
, Gdje 
- analitička funkcija i 
.
Dot A pozvao u suštini posebna tačka funkcije f(z), ako je na z 
a
lim f(z) ne postoji.
Laurent serija
Razmotrimo slučaj prstenastog područja konvergencije r < | z 0 – a| < R centriran u tački A za funkciju f(z). Hajde da predstavimo dva nova kruga L 1 (r) I L 2 (R) blizu granica prstena sa tačkom z 0 između njih. Napravimo rez na prstenu, spojimo krugove duž ivica reza, pređimo na jednostavno povezanu regiju i u
Formulom Cauchyjevog integrala (39) dobijamo dva integrala nad varijablom z
f(z 0)
=
+
,
(42)
gdje integracija ide u suprotnim smjerovima.
Za integral preko L 1 uslov je ispunjen | z 0 – a | > | z – a |, a za integral preko L 2 inverzno stanje | z 0 – a | < | z – a |. Dakle, faktor 1/( z – z 0) proširiti u niz (a) u integralu preko L 2 i u seriji (b) u integralu preko L 1 . Kao rezultat, dobijamo ekspanziju f(z) u području prstena u Laurent serija pozitivnim i negativnim silama ( z 0 – a)
f(z 0)
=
A n
(z 0 -a) n
(43)
Gdje A n
=
=
;A -n
=
Ekspanzija pozitivnih moći (z 0 - A) pozvao desni deo Laurentov niz (Taylorov niz), a ekspanzija u negativnim snagama se naziva. glavni dio Laurent serija.
Ako je unutar kruga L 1 nema singularnih tačaka i funkcija je analitička, tada je u (44) prvi integral jednak nuli po Cauchyjevom teoremu i samo ispravan dio ostaje u proširenju funkcije. Negativne snage u ekspanziji (45) pojavljuju se samo kada je narušena analitičnost unutar unutrašnjeg kruga i služe za opisivanje funkcije u blizini izoliranih singularnih tačaka.
Za konstruiranje Lorentove serije (45) za f(z) možete izračunati koeficijente proširenja koristeći opću formulu ili koristiti proširenja elementarnih funkcija uključenih u f(z).
Broj termina ( n) glavnog dijela Laurentovog niza ovisi o vrsti singularne točke: uklonjiva singularna tačka
(n
=
0)
; suštinski singularna tačka
(n 
);
polen- vau red(n
-
konačni broj).
i za f(z)
=
dot z
= 0 singularna tačka koja se može ukloniti, jer nema glavnog dijela. f(z)
=
(z
-
) = 1 -
b) Za f(z)
=
dot z
= 0 -
Stub 1. reda
f(z)
=
(z
-
) =
-
c) Za f(z) = e 1 / z dot z = 0 - suštinski singularna tačka
f(z)
=
e 1 /
z =
Ako f(z) je analitička u domeni D sa izuzetkom m izolovane singularne tačke 
i | z 1 |
< |z 2 |
< . . . < |z m| , zatim pri proširenju funkcije u ovlasti z ceo avion je podeljen na m+ 1 prsten | z i |
< | z
| < | z i+ 1 | i Laurent serija ima drugačiji izgled za svaki prsten. Prilikom proširenja ovlasti ( z
–
z i
) područje konvergencije Lorentovog reda je kružnica | z
–
z i
| < r, Gdje r
– udaljenost do najbliže singularne tačke.
itd. Proširimo funkciju f(z)
=
u Lorentovom nizu moći z i ( z
-
1).
Rješenje. Predstavimo funkciju u obliku f(z)
= - z 2
. Koristimo formulu za zbir geometrijske progresije 
. U krugu |z|< 1 ряд сходится и f(z)
= - z 2
(1 + z
+ z 2
+ z 3
+ z 4
+ . . .) = - z 2
- z 3
- z 4 - . . . , tj. dekompozicija sadrži samo ispravan Part. Pređimo na vanjski dio kruga |z| > 1. Predstavimo funkciju u obliku 
, gdje je 1/| z|
< 1, и получим разложение f(z)
= z
=z
+ 1 +
Jer , proširenje funkcije u ovlasti ( z
-
1) izgleda f(z)
= (z
-
1) -1
+ 2 + (z
-
1) za sve 
1.
itd. Proširite funkciju u Laurentov niz f(z)
=
:
a) po stepenima z u krugu | z|
< 1; b)
по степеням z
prsten 1<
|z|
< 3 ; c)
по степеням (z
–
2).Rješenje. Razložimo funkciju na jednostavne razlomke
=
=
+
=
.
Od uslova z
=1
A
= -1/2 , z
=3
B
= ½.
A) f(z)
=
½ [ 
]
= ½ [ 
-(1/3)
], sa | z|<
1.
b) f(z)
= - ½ [ 
+
]
= -
(
), u 1< |z|
< 3.
sa) f(z)
=
½ [ 
]= -
½
[ 
]
=
=
- ½
= -
, sa |2 - z|
< 1
To je krug poluprečnika 1 sa centrom u z = 2 .
U nekim slučajevima, redovi stepena mogu se svesti na skup geometrijskih progresija, a nakon toga je lako odrediti područje njihove konvergencije.
itd. Istražite konvergenciju serije
.
. . +
+
+
+
1
+ ()
+ ()
2
+ ()
3
+ . . .
Rješenje. Ovo je zbir dvije geometrijske progresije sa q 1
=
, q 2 = () . Iz uslova njihove konvergencije sledi 
< 1 ,
< 1 или |z|
> 1 , |z|
< 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо
1 < |z|
< 2 .
2. Nađimo nule funkcije.
f(x) na x 
.
Odgovor f(x) na x .
2) x 2 >-4x-5;
x 2 +4x +5>0;
Neka je f(x)=x 2 +4x +5 onda hajde da nađemo takav x za koji je f(x)>0,
D=-4 Nema nula.
4. Sistemi nejednakosti. Nejednakosti i sistemi nejednakosti sa dvije varijable
1) Skup rješenja sistema nejednačina je presjek skupova rješenja nejednačina koje su u njemu uključene.
2) Skup rješenja nejednačine f(x;y)>0 može se grafički prikazati na koordinatnoj ravni. Tipično, linija definirana jednadžbom f(x;y) = 0 dijeli ravan na 2 dijela, od kojih je jedan rješenje nejednačine. Da biste odredili koji dio, trebate zamijeniti koordinate proizvoljne tačke M(x0;y0) koja ne leži na pravoj f(x;y)=0 u nejednačinu. Ako je f(x0;y0) > 0, tada je rješenje nejednačine dio ravni koji sadrži tačku M0. ako je f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.
3) Skup rješenja sistema nejednačina je presjek skupova rješenja nejednačina koje su u njemu uključene. Neka, na primjer, bude dat sistem nejednakosti:
.
Za prvu nejednačinu, skup rješenja je kružnica polumjera 2 sa centrom u nultu, a za drugu je to poluravnina koja se nalazi iznad prave 2x+3y=0. Skup rješenja ovog sistema je presjek ovih skupova, tj. polukrug.
4) Primjer. Riješite sistem nejednačina:
Rješenje 1. nejednakosti je skup , 2. je skup (2;7), a treće je skup .
Presek ovih skupova je interval (2;3], koji je skup rešenja sistema nejednačina.
5. Rješavanje racionalnih nejednačina metodom intervala
Metoda intervala zasniva se na sledećem svojstvu binoma (x-a): tačka x = α deli brojevnu osu na dva dela – desno od tačke α binom (x-α)>0, a na lijevo od tačke α (x-α)<0.
Neka je potrebno riješiti nejednakost (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, gdje su α 1, α 2 ...α n-1, α n fiksne brojevi, među kojima nema jednakih, i takvi da je α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 metodom intervala postupiti na sljedeći način: brojevi α 1, α 2 ...α n-1, α n su iscrtani na numeričkoj osi; u intervalu desno od najvećeg od njih, tj. brojeva α n, stavite znak plus, u intervalu koji ga prati s desna na lijevo stavite znak minus, zatim znak plus, pa znak minus itd. Tada će skup svih rješenja nejednakosti (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 biti unija svih intervala u kojima je postavljen znak plus i skup rješenja nejednakosti (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Rješavanje racionalnih nejednačina (tj. nejednačina oblika 
P(x) Q(x) gdje su polinomi) temelji se na sljedećem svojstvu kontinuirane funkcije: ako kontinuirana funkcija nestaje u tačkama x1 i x2 (x1; x2) i nema drugih korijena između ovih tačaka, tada u intervalima (x1; x2) funkcija zadržava svoj predznak.
Stoga, da biste pronašli intervale konstantnog predznaka funkcije y=f(x) na brojevnoj pravoj, označite sve tačke u kojima funkcija f(x) nestaje ili trpi diskontinuitet. Ove tačke dijele brojevnu pravu na nekoliko intervala, unutar kojih je funkcija f(x) kontinuirana i ne nestaje, tj. čuva znak. Da bi se odredio ovaj predznak, dovoljno je pronaći predznak funkcije u bilo kojoj tački razmatranog intervala brojevne prave.
2) Odrediti intervale konstantnog predznaka racionalne funkcije, tj. Da bismo riješili racionalnu nejednakost, na brojevnoj pravoj označavamo korijene brojnika i korijene nazivnika, koji su također korijeni i prijelomne tačke racionalne funkcije.
Rješavanje nejednačina metodom intervala
3. 
< 20.
Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti određen je sistemom nejednakosti:
Za funkciju f(x) = – 20. Pronađite f(x):
odakle je x = 29 i x = 13.
f(30) = – 20 = 0,3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.
Odgovor: . Osnovne metode za rješavanje racionalnih jednačina. 1) Najjednostavniji: riješen uobičajenim pojednostavljenjima - svođenjem na zajednički imenitelj, redukcijom sličnih pojmova i tako dalje. Kvadratne jednadžbe ax2 + bx + c = 0 rješavaju se...
X se mijenja na intervalu (0,1] i smanjuje se na intervalu)