Nađimo nule funkcije. Koje su nule funkcije i kako ih odrediti Kako pronaći nule funkcije razlomka

Šta su funkcije nule? Odgovor je prilično jednostavan - ovo je matematički termin, koji označava domenu definicije date funkcije, u kojoj je njena vrijednost nula. Funkcije nule se također nazivaju. Najlakši način da objasnite što su funkcije nule je na nekoliko jednostavnih primjera.

Primjeri

Razmotrimo jednostavnu jednačinu y=x+3. Budući da je nula funkcije vrijednost argumenta na kojem je y stekao nultu vrijednost, zamjenjujemo 0 na lijevoj strani jednadžbe:

U ovom slučaju, -3 je željena nula. Za datu funkciju postoji samo jedan korijen jednadžbe, ali to nije uvijek slučaj.

Pogledajmo još jedan primjer:

Zamijenimo 0 na lijevoj strani jednadžbe, kao u prethodnom primjeru:

Očigledno, u ovom slučaju bit će dvije nule funkcije: x=3 i x=-3. Da jednačina ima argument trećeg stepena, postojale bi tri nule. Može se izvesti jednostavan zaključak da broj korijena polinoma odgovara maksimalnom stupnju argumenta u jednadžbi. Međutim, mnoge funkcije, na primjer y = x 3, na prvi pogled su u suprotnosti s ovom tvrdnjom. Logika i zdrav razum nalažu da ova funkcija ima samo jednu nulu - u tački x=0. Ali u stvari postoje tri korijena, samo se svi poklapaju. Ako jednačinu riješite u kompleksnom obliku, to postaje očigledno. x=0 u ovom slučaju, korijen čija je višestrukost 3. U prethodnom primjeru nule se nisu poklapale, pa su imale višestrukost 1.

Algoritam određivanja

Iz prikazanih primjera možete vidjeti kako odrediti nule funkcije. Algoritam je uvijek isti:

1. Napišite funkciju.
2. Zamijenite y ili f(x)=0.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu.

Težina posljednje tačke zavisi od stepena argumentacije jednačine. Prilikom rješavanja jednačina visokih stupnjeva, posebno je važno zapamtiti da je broj korijena jednačine jednak maksimalnom stupnju argumenta. Ovo posebno vrijedi za trigonometrijske jednadžbe, gdje dijeljenje obje strane sa sinusom ili kosinusom dovodi do gubitka korijena.

Jednačine proizvoljnog stepena najlakše je riješiti korištenjem Hornerove metode, koja je razvijena posebno za pronalaženje nula proizvoljnog polinoma.

Vrijednost nula funkcija može biti negativna ili pozitivna, realna ili u kompleksnoj ravni, singularna ili višestruka. Ili možda nema korijena jednadžbi. Na primjer, funkcija y=8 neće dobiti nultu vrijednost za bilo koji x, jer ne zavisi od ove varijable.

Jednačina y=x 2 -16 ima dva korijena, i oba leže u kompleksnoj ravni: x 1 =4i, x 2 =-4i.

Uobičajene greške

Uobičajena greška koju čine školarci koji još nisu u potpunosti razumjeli šta su nule funkcije je zamjena argumenta (x) nulom, umjesto vrijednosti (y) funkcije. Oni pouzdano zamjenjuju x=0 u jednačinu i, na osnovu toga, nalaze y. Ali ovo je pogrešan pristup.

Druga greška, kao što je već spomenuto, je redukcija sinusom ili kosinusom u trigonometrijskoj jednadžbi, zbog čega se gubi jedna ili više nula funkcije. To ne znači da se u ovakvim jednačinama ništa ne može reducirati, ali je u daljim proračunima potrebno uzeti u obzir ove „izgubljene“ faktore.

Grafičko predstavljanje

Možete razumjeti koje su nule funkcije koristeći matematičke programe kao što je Maple. U njemu možete izgraditi grafikon tako što ćete odrediti željeni broj tačaka i željenu skalu. One tačke u kojima graf siječe osu OX su željene nule. Ovo je jedan od najbržih načina za pronalaženje korijena polinoma, posebno ako je njegov red veći od trećeg. Dakle, ako postoji potreba za redovnim izvođenjem matematičkih proračuna, pronalaženjem korijena polinoma proizvoljnih stupnjeva, građenjem grafova, Maple ili sličan program će biti jednostavno neophodan za izvođenje i provjeru proračuna.

Vrijednosti argumenata z na kojoj f(z) ide na nulu poziva. nultu tačku, tj. Ako f(a) = 0, dakle a - nulta tačka.

Def. Dot A pozvao nulti redn , Ako FKP se može predstaviti u obliku f(z) = , gdje
analitička funkcija i
0.

U ovom slučaju, u Taylorov red ekspanzija funkcije (43), prva n koeficijenti su nula

= =

itd. Odrediti red nule za
i (1 –cos z) at z = 0

=
=

nula 1. reda

1 – cos z =
=

nula 2. reda

Def. Dot z =
pozvao tačka u beskonačnost I nula funkcije f(z), Ako f(
) = 0. Takva funkcija se može proširiti u niz negativnih potencija z : f(z) =
. Ako prvo n koeficijenti su jednaki nuli, onda dolazimo do nulti red n u tački u beskonačnosti: f(z) = z - n
.

Izolirane singularne tačke se dijele na: a) uklonjive singularne tačke; b) polove redan; V) u suštini singularne tačke.

Dot A pozvao uklonjiva singularna tačka funkcije f(z) ako na z
a lim f(z) = sa - konačan broj .

Dot A pozvao stub redan (n 1) funkcije f(z), ako je inverzna funkcija
= 1/ f(z) ima nulti red n u tački A. Takva funkcija se uvijek može predstaviti kao f(z) =
, Gdje
- analitička funkcija i
.

Dot A pozvao u suštini posebna tačka funkcije f(z), ako je na z
a lim f(z) ne postoji.

Laurent serija

Razmotrimo slučaj prstenastog područja konvergencije r < | z 0 – a| < R centriran u tački A za funkciju f(z). Hajde da predstavimo dva nova kruga L 1 (r) I L 2 (R) blizu granica prstena sa tačkom z 0 između njih. Napravimo rez na prstenu, spojimo krugove duž ivica reza, pređimo na jednostavno povezanu regiju i u

Formulom Cauchyjevog integrala (39) dobijamo dva integrala nad varijablom z

f(z 0) =
+
, (42)

gdje integracija ide u suprotnim smjerovima.

Za integral preko L 1 uslov je ispunjen | z 0 – a | > | z – a |, a za integral preko L 2 inverzno stanje | z 0 – a | < | z – a |. Dakle, faktor 1/( z – z 0) proširiti u niz (a) u integralu preko L 2 i u seriji (b) u integralu preko L 1 . Kao rezultat, dobijamo ekspanziju f(z) u području prstena u Laurent serija pozitivnim i negativnim silama ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 -a) n (43)

Gdje A n =
=
;A -n =

Ekspanzija pozitivnih moći (z 0 - A) pozvao desni deo Laurentov niz (Taylorov niz), a ekspanzija u negativnim snagama se naziva. glavni dio Laurent serija.

Ako je unutar kruga L 1 nema singularnih tačaka i funkcija je analitička, tada je u (44) prvi integral jednak nuli po Cauchyjevom teoremu i samo ispravan dio ostaje u proširenju funkcije. Negativne snage u ekspanziji (45) pojavljuju se samo kada je narušena analitičnost unutar unutrašnjeg kruga i služe za opisivanje funkcije u blizini izoliranih singularnih tačaka.

Za konstruiranje Lorentove serije (45) za f(z) možete izračunati koeficijente proširenja koristeći opću formulu ili koristiti proširenja elementarnih funkcija uključenih u f(z).

Broj termina ( n) glavnog dijela Laurentovog niza ovisi o vrsti singularne točke: uklonjiva singularna tačka (n = 0) ; suštinski singularna tačka (n
); polen- vau red(n - konačni broj).

i za f(z) = dot z = 0 singularna tačka koja se može ukloniti, jer nema glavnog dijela. f(z) = (z -
) = 1 -

b) Za f(z) = dot z = 0 - Stub 1. reda

f(z) = (z -
) = -

c) Za f(z) = e 1 / z dot z = 0 - suštinski singularna tačka

f(z) = e 1 / z =

Ako f(z) je analitička u domeni D sa izuzetkom m izolovane singularne tačke i | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , zatim pri proširenju funkcije u ovlasti z ceo avion je podeljen na m+ 1 prsten | z i | < | z | < | z i+ 1 | i Laurent serija ima drugačiji izgled za svaki prsten. Prilikom proširenja ovlasti ( z – z i ) područje konvergencije Lorentovog reda je kružnica | z – z i | < r, Gdje r – udaljenost do najbliže singularne tačke.

itd. Proširimo funkciju f(z) =u Lorentovom nizu moći z i ( z - 1).

Rješenje. Predstavimo funkciju u obliku f(z) = - z 2 . Koristimo formulu za zbir geometrijske progresije
. U krugu |z|< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , tj. dekompozicija sadrži samo ispravan dio. Pređimo na vanjski dio kruga |z| > 1. Predstavimo funkciju u obliku
, gdje je 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Jer , proširenje funkcije u ovlasti ( z - 1) izgleda f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) za sve
1.

itd. Proširite funkciju u Laurentov niz f(z) =
: a) po stepenima z u krugu | z| < 1; b) по степеням z prsten 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2).Rješenje. Razložimo funkciju na jednostavne razlomke
= =+=
. Od uslova z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

A) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], sa | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), u 1< |z| < 3.

sa) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, sa |2 - z| < 1

To je krug poluprečnika 1 sa centrom u z = 2 .

U nekim slučajevima, redovi stepena mogu se svesti na skup geometrijskih progresija, a nakon toga je lako odrediti područje njihove konvergencije.

itd. Istražite konvergenciju serije

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Rješenje. Ovo je zbir dvije geometrijske progresije sa q 1 = , q 2 = () . Iz uslova njihove konvergencije sledi < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

Matematički prikaz funkcije jasno pokazuje kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Tradicionalno se smatraju numeričke funkcije koje dodeljuju jedan broj drugom. Nula funkcije je obično vrijednost argumenta pri kojoj funkcija postaje nula.

Instrukcije

1. Da biste otkrili nule funkcije, trebate izjednačiti njenu desnu stranu sa nulom i riješiti rezultirajuću jednadžbu. Zamislimo da vam je data funkcija f(x)=x-5.

2. Da bismo pronašli nule ove funkcije, uzmimo i izjednačimo njenu desnu stranu sa nulom: x-5=0.

3. Nakon što smo riješili ovu jednačinu, nalazimo da je x=5 i ova vrijednost argumenta će biti nula funkcije. To jest, kada je vrijednost argumenta 5, funkcija f(x) postaje nula.

Ispod pogleda funkcije u matematici razumemo vezu između elemenata skupova. Tačnije rečeno, ovo je “zakon” prema kojem je cijeli element jednog skupa (nazvan domen definicije) povezan sa određenim elementom drugog skupa (koji se naziva domenom vrijednosti).

Trebaće ti

• Poznavanje algebre i matematički pregled.

Instrukcije

1. Vrijednosti funkcije Ovo je određena oblast iz koje funkcija može uzeti vrijednosti. Recimo raspon vrijednosti funkcije f(x)=|x| od 0 do beskonačnosti. U cilju otkrivanja značenje funkcije u određenom trenutku morate zamijeniti argument funkcije njegov numerički ekvivalent, rezultirajući broj će biti značenje m funkcije. Neka je funkcija f(x)=|x| – 10 + 4x. Saznajmo značenje funkcije u tački x=-2. Zamenimo x brojem -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. To je značenje funkcije u tački -2 je jednako -16.

Bilješka!
Prije traženja vrijednosti funkcije u nekoj tački, uvjerite se da je unutar domene funkcije.

Koristan savjet
Slična metoda omogućava otkrivanje značenja funkcije nekoliko argumenata. Razlika je u tome što ćete umjesto jednog broja morati zamijeniti nekoliko - prema broju argumenata funkcije.

Funkcija predstavlja uspostavljenu vezu između varijable y i varijable x. Štoviše, sve vrijednosti x, nazvane argument, odgovaraju izuzetnoj vrijednosti y - funkcije. U grafičkom obliku, funkcija je prikazana na Dekartovom koordinatnom sistemu u obliku grafa. Točke presjeka grafa sa apscisnom osom, na kojima su ucrtani argumenti x, nazivaju se nulama funkcije. Pronalaženje prihvatljivih nula je jedan od zadataka pronalaženja date funkcije. U ovom slučaju se uzimaju u obzir sve dopuštene vrijednosti nezavisne varijable x koje čine domenu definicije funkcije (DOF).

Instrukcije

1. Nula funkcije je vrijednost argumenta x kod koje je vrijednost funkcije jednaka nuli. Međutim, samo oni argumenti koji su u okviru definicije funkcije koja se proučava mogu biti nule. Odnosno, postoji mnogo vrijednosti za koje je korisna funkcija f(x).

2. Zapišite datu funkciju i izjednačite je sa nulom, recimo f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Riješite rezultirajuću jednačinu i pronađite njene realne korijene. Korijeni kvadratne jednadžbe se izračunavaju uz podršku za pronalaženje diskriminanta. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 Tako se u ovom slučaju dobijaju dva korijena kvadratne jednadžbe, koja odgovaraju argumenti početne funkcije f(x).

3. Provjerite sve otkrivene x vrijednosti da li pripadaju domeni definicije date funkcije. Saznajte OOF, da biste to učinili, provjerite početni izraz za prisustvo parnih korijena oblika?f (x), za prisustvo razlomaka u funkciji s argumentom u nazivniku, za prisustvo logaritamskih ili trigonometrijskih izrazi.

4. Kada razmatrate funkciju s izrazom pod korijenom parnog stupnja, uzmite kao domenu definicije sve argumente x čije vrijednosti ne pretvaraju radikalni izraz u negativan broj (naprotiv, funkcija čini nema smisla). Provjerite da li otkrivene nule funkcije spadaju u određeni raspon prihvatljivih vrijednosti x.

5. Imenilac razlomka ne može ići na nulu, stoga isključite one argumente x koji dovode do takvog rezultata. Za logaritamske veličine treba uzeti u obzir samo one vrijednosti argumenta za koje je sam izraz veći od nule. Nule funkcije koje pretvaraju sublogaritamski izraz u nulu ili negativan broj moraju se odbaciti iz konačnog rezultata.

Bilješka!
Prilikom pronalaženja korijena jednadžbe mogu se pojaviti dodatni korijeni. Ovo je lako provjeriti: samo zamijenite rezultujuću vrijednost argumenta u funkciju i provjerite da li se funkcija pretvara na nulu.

Koristan savjet
Ponekad funkcija nije izražena na očigledan način kroz svoj argument, onda je lako znati koja je to funkcija. Primjer za to je jednadžba kružnice.

2. Nađimo nule funkcije.

f(x) na x .

Odgovor f(x) na x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Neka je f(x)=x 2 +4x +5 onda hajde da nađemo takav x za koji je f(x)>0,

D=-4 Nema nula.

4. Sistemi nejednakosti. Nejednakosti i sistemi nejednakosti sa dvije varijable

1) Skup rješenja sistema nejednačina je presjek skupova rješenja nejednačina koje su u njemu uključene.

2) Skup rješenja nejednačine f(x;y)>0 može se grafički prikazati na koordinatnoj ravni. Tipično, linija definirana jednadžbom f(x;y) = 0 dijeli ravan na 2 dijela, od kojih je jedan rješenje nejednačine. Da biste odredili koji dio, trebate zamijeniti koordinate proizvoljne tačke M(x0;y0) koja ne leži na pravoj f(x;y)=0 u nejednačinu. Ako je f(x0;y0) > 0, tada je rješenje nejednačine dio ravni koji sadrži tačku M0. ako je f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Skup rješenja sistema nejednačina je presjek skupova rješenja nejednačina koje su u njemu uključene. Neka, na primjer, bude dat sistem nejednakosti:

.

Za prvu nejednačinu, skup rješenja je krug poluprečnika 2 sa centrom u početku, a za drugu, to je poluravan koja se nalazi iznad prave 2x+3y=0. Skup rješenja ovog sistema je presjek ovih skupova, tj. polukrug.

4) Primjer. Riješite sistem nejednačina:

Rješenje 1. nejednakosti je skup , 2. je skup (2;7), a treće je skup .

Presek ovih skupova je interval (2;3], koji je skup rešenja sistema nejednačina.

5. Rješavanje racionalnih nejednačina metodom intervala

Metoda intervala zasniva se na sledećem svojstvu binoma (x-a): tačka x = α deli brojevnu osu na dva dela - desno od tačke α binom (x-α)>0, a na lijevo od tačke α (x-α)<0.

Neka je potrebno riješiti nejednakost (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, gdje su α 1, α 2 ...α n-1, α n fiksne brojevi, među kojima nema jednakih, i takvi da je α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 metodom intervala postupiti na sljedeći način: brojevi α 1, α 2 ...α n-1, α n su iscrtani na numeričkoj osi; u intervalu desno od najvećeg od njih, tj. brojeva α n, stavite znak plus, u intervalu koji ga prati s desna na lijevo stavite znak minus, zatim znak plus, pa znak minus itd. Tada će skup svih rješenja nejednakosti (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 biti unija svih intervala u kojima je postavljen znak plus i skup rješenja nejednakosti (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Rješavanje racionalnih nejednačina (tj. nejednačina oblika P(x) Q(x) gdje su polinomi) temelji se na sljedećem svojstvu kontinuirane funkcije: ako kontinuirana funkcija nestaje u tačkama x1 i x2 (x1; x2) i nema drugih korijena između ovih tačaka, tada u intervalima (x1; x2) funkcija zadržava svoj predznak.

Stoga, da biste pronašli intervale konstantnog predznaka funkcije y=f(x) na brojevnoj pravoj, označite sve tačke u kojima funkcija f(x) nestaje ili trpi diskontinuitet. Ove tačke dijele brojevnu pravu na nekoliko intervala, unutar kojih je funkcija f(x) kontinuirana i ne nestaje, tj. čuva znak. Da bi se odredio ovaj predznak, dovoljno je pronaći predznak funkcije u bilo kojoj tački razmatranog intervala brojevne prave.

2) Odrediti intervale konstantnog predznaka racionalne funkcije, tj. Da bismo riješili racionalnu nejednakost, na brojevnoj pravoj označavamo korijene brojnika i korijene nazivnika, koji su također korijeni i prijelomne tačke racionalne funkcije.

Rješavanje nejednačina metodom intervala

3. < 20.

Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti određen je sistemom nejednakosti:

Za funkciju f(x) = – 20. Pronađite f(x):

odakle je x = 29 i x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Odgovor: . Osnovne metode za rješavanje racionalnih jednačina. 1) Najjednostavniji: riješen uobičajenim pojednostavljenjima - svođenjem na zajednički imenitelj, redukcijom sličnih pojmova i tako dalje. Kvadratne jednadžbe ax2 + bx + c = 0 rješavaju se...

X se mijenja na intervalu (0,1] i smanjuje se na intervalu)