Nađimo nule funkcije. Što su nule funkcije i kako ih odrediti Kako pronaći nule funkcije razlomka

Što su funkcijske nule? Odgovor je vrlo jednostavan - ovo je matematički pojam, koji označava domenu definiranja dane funkcije, u kojoj je njezina vrijednost nula. Nazivaju se i funkcijske nule.. Najlakši način objasniti što su funkcijske nule je na nekoliko jednostavnih primjera.

Primjeri

Razmotrimo jednostavnu jednadžbu y=x+3. Budući da je nula funkcije vrijednost argumenta pri kojem je y dobio nultu vrijednost, zamijenit ćemo 0 na lijevoj strani jednadžbe:

U ovom slučaju, -3 je željena nula. Za određenu funkciju postoji samo jedan korijen jednadžbe, ali to nije uvijek slučaj.

Pogledajmo još jedan primjer:

Zamijenimo 0 na lijevoj strani jednadžbe, kao u prethodnom primjeru:

Očito, u ovom slučaju će postojati dvije nule funkcije: x=3 i x=-3. Kad bi jednadžba imala argument trećeg stupnja, bile bi tri nule. Može se izvesti jednostavan zaključak da broj korijena polinoma odgovara maksimalnom stupnju argumenta u jednadžbi. Međutim, mnoge funkcije, na primjer y = x 3, na prvi pogled proturječe ovoj tvrdnji. Logika i zdrav razum nalažu da ova funkcija ima samo jednu nulu - u točki x=0. Ali zapravo postoje tri korijena, samo se svi podudaraju. Ako riješite jednadžbu u složenom obliku, to postaje očito. x=0 u ovom slučaju, korijen čija je višestrukost 3. U prethodnom primjeru nule se nisu podudarale, pa su imale višestrukost 1.

Algoritam određivanja

Iz prikazanih primjera možete vidjeti kako odrediti nulte točke funkcije. Algoritam je uvijek isti:

1. Napiši funkciju.
2. Zamijenite y ili f(x)=0.
3. Riješite dobivenu jednadžbu.

Težina posljednje točke ovisi o stupnju argumenta jednadžbe. Pri rješavanju jednadžbi visokih stupnjeva posebno je važno zapamtiti da je broj korijena jednadžbe jednak maksimalnom stupnju argumenta. Ovo posebno vrijedi za trigonometrijske jednadžbe, gdje dijeljenje obje strane sa sinusom ili kosinusom dovodi do gubitka korijena.

Jednadžbe proizvoljnog stupnja najlakše je riješiti pomoću Hornerove metode, koja je razvijena posebno za pronalaženje nula proizvoljnih polinoma.

Vrijednost nula funkcija može biti negativna ili pozitivna, realna ili u kompleksnoj ravnini, singularna ili višestruka. Ili možda nema korijena jednadžbe. Na primjer, funkcija y=8 neće dobiti nultu vrijednost ni za jedan x, jer ne ovisi o ovoj varijabli.

Jednadžba y=x 2 -16 ima dva korijena i oba leže u kompleksnoj ravnini: x 1 =4i, x 2 =-4i.

Uobičajene pogreške

Česta pogreška koju čine školarci koji još nisu u potpunosti razumjeli što su nule funkcije je zamjena argumenta (x) nulom, umjesto vrijednosti (y) funkcije. Oni pouzdano zamjenjuju x=0 u jednadžbu i na temelju toga nalaze y. Ali ovo je pogrešan pristup.

Druga pogreška, kao što je već spomenuto, je smanjenje za sinus ili kosinus u trigonometrijskoj jednadžbi, zbog čega se gubi jedna ili više nula funkcije. To ne znači da se u ovakvim jednadžbama ništa ne može reducirati, ali u daljnjim izračunima potrebno je uzeti u obzir te “izgubljene” faktore.

Grafički prikaz

Pomoću matematičkih programa kao što je Maple možete razumjeti što su nule funkcije. U njemu možete izgraditi grafikon navodeći željeni broj bodova i željenu ljestvicu. One točke u kojima graf siječe os OX su željene nule. Ovo je jedan od najbržih načina za pronalaženje korijena polinoma, osobito ako je njegov red viši od trećeg. Dakle, ako postoji potreba za redovitim izvođenjem matematičkih izračuna, pronalaženjem korijena polinoma proizvoljnih stupnjeva, izgradnjom grafova, Maple ili sličan program bit će jednostavno nezamjenjiv za izvođenje i provjeru izračuna.

Vrijednosti argumenata z na kojem f(z) ide na nulu tzv. nulta točka, tj. Ako f(a) = 0, tada a - nulta točka.

Def. Točka A nazvao nulti redn , Ako FKP se može prikazati u obliku f(z) = , gdje je
analitičku funkciju i
0.

U ovom slučaju, u proširenju funkcije (43) u Taylorov red, prvi n koeficijenti su nula

= =

itd. Odredi red nule za
i (1 –cos z) na z = 0

=
=

nula 1. reda

1 – cos z =
=

nula 2. reda

Def. Točka z =
nazvao točka u beskonačnosti I nula funkcije f(z), Ako f(
) = 0. Takva se funkcija može proširiti u niz negativnih potencija z : f(z) =
. Ako prvi n koeficijenti jednaki nuli, tada dolazimo do nulti red n u točki u beskonačnosti: f(z) = z - n
.

Izolirane singularne točke dijele se na: a) uklonjive singularne točke; b) polovi redan; V) u biti singularne točke.

Točka A nazvao uklonjiva singularna točka funkcije f(z) ako na z
a lim f(z) = sa - konačni broj .

Točka A nazvao stup redan (n 1) funkcije f(z), ako je inverzna funkcija
= 1/ f(z) ima nulti red n u točki A. Takva se funkcija uvijek može prikazati kao f(z) =
, Gdje
- analitička funkcija i
.

Točka A nazvao u biti posebna točka funkcije f(z), ako na z
a lim f(z) ne postoji.

Laurentova serija

Razmotrimo slučaj regije konvergencije prstena r < | z 0 – a| < R centriran u točki A za funkciju f(z). Predstavimo dva nova kruga L 1 (r) I L 2 (R) u blizini granica prstena s točkom z 0 između njih. Izrežemo prsten, spojimo krugove duž rubova reza, prijeđemo na jednostavno spojeno područje i u

Cauchyjevom integralnom formulom (39) dobivamo dva integrala po varijabli z

f(z 0) =
+
, (42)

gdje integracija ide u suprotnim smjerovima.

Za integralni preko L 1 uvjet je ispunjen | z 0 – a | > | z – a |, i za integralni nad L 2 inverzni uvjet | z 0 – a | < | z – a |. Prema tome, faktor 1/( z – z 0) proširiti u niz (a) u integralu preko L 2 i u seriji (b) u integralnom nad L 1 . Kao rezultat toga, dobivamo ekspanziju f(z) u području prstena u Laurentova serija pozitivnim i negativnim potencijama ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 -a) n (43)

Gdje A n =
=
;A -n =

Ekspanzija u pozitivnim moćima (z 0 - A) nazvao desni dio Laurentov red (Taylorov red), a proširenje u negativne potencije naziva se. glavni dio Laurentova serija.

Ako je unutar kruga L 1 nema singularnih točaka i funkcija je analitička, tada je u (44) prvi integral jednak nuli po Cauchyjevom teoremu i ostaje samo točan dio u proširenju funkcije. Negativne ovlasti u ekspanziji (45) pojavljuju se samo kada je analitičnost narušena unutar unutarnjeg kruga i služe za opisivanje funkcije u blizini izoliranih singularnih točaka.

Za konstruiranje Laurentovog niza (45) za f(z) možete izračunati koeficijente proširenja koristeći opću formulu ili koristiti proširenja elementarnih funkcija uključenih u f(z).

Broj termina ( n) glavnog dijela Laurentovog niza ovisi o vrsti singularne točke: uklonjiva singularna točka (n = 0) ; u biti singularna točka (n
); poln- wow red(n - konačni broj).

i za f(z) = točka z = 0 uklonjiva singularna točka, jer nema glavnog dijela. f(z) = (z -
) = 1 -

b) Za f(z) = točka z = 0 - stup 1. reda

f(z) = (z -
) = -

c) Za f(z) = e 1 / z točka z = 0 - u biti singularna točka

f(z) = e 1 / z =

Ako f(z) je analitička u domeni D uz iznimku m izolirane singularne točke i | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , zatim kod proširenja funkcije u ovlastima z cijela je ravnina podijeljena na m+ 1 prsten | z ja | < | z | < | z ja+ 1 | a serija Laurent ima drugačiji izgled za svaki prsten. Prilikom proširenja ovlasti ( z – z ja ) područje konvergencije Laurentovog niza je krug | z – z ja | < r, Gdje r – udaljenost do najbliže singularne točke.

itd. Proširimo funkciju f(z) =u seriji Laurent u moćima z i ( z - 1).

Riješenje. Predstavimo funkciju u obliku f(z) = - z 2 . Koristimo formulu za zbroj geometrijske progresije
. U krugu |z|< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , tj. razgradnja sadrži samo ispraviti Dio. Prijeđimo na vanjsko područje kruga |z| > 1. Predstavimo funkciju u obliku
, gdje je 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Jer , proširenje funkcije u potencije ( z - 1) izgleda f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) za sve
1.

itd. Proširite funkciju u Laurentovu seriju f(z) =
: a) po stupnjevima z u krug | z| < 1; b) по степеням z prsten 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2).Rješenje. Rastavimo funkciju na proste razlomke
= =+=
. Od uvjeta z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

A) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], s | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), na 1< |z| < 3.

S) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, s |2 - z| < 1

To je krug radijusa 1 sa središtem u z = 2 .

U nekim slučajevima, redovi potencija mogu se svesti na skup geometrijskih progresija, nakon čega je lako odrediti područje njihove konvergencije.

itd. Istražite konvergenciju niza

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Riješenje. Ovo je zbroj dviju geometrijskih progresija sa q 1 = , q 2 = () . Iz uvjeta njihove konvergencije slijedi < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

Matematički prikaz funkcije jasno pokazuje kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Tradicionalno se smatra da numeričke funkcije dodjeljuju jedan broj drugom. Nula funkcije obično je vrijednost argumenta pri kojem funkcija postaje nula.

upute

1. Kako biste otkrili nule funkcije, morate izjednačiti njenu desnu stranu s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu. Zamislimo da vam je dana funkcija f(x)=x-5.

2. Da bismo pronašli nule ove funkcije, uzmimo i izjednačimo njenu desnu stranu s nulom: x-5=0.

3. Nakon što smo riješili ovu jednadžbu, nalazimo da je x=5 i ta će vrijednost argumenta biti nula funkcije. To jest, kada je vrijednost argumenta 5, funkcija f(x) postaje nula.

Ispod pogleda funkcije u matematici razumijevamo vezu između elemenata skupova. Točnije rečeno, radi se o “zakonu” prema kojem se cijeli element jednog skupa (koji se naziva domena definicije) povezuje s određenim elementom drugog skupa (koji se naziva domenom vrijednosti).

Trebat će vam

• Poznavanje algebre i matematičkog pregleda.

upute

1. Vrijednosti funkcije Ovo je određeno područje iz kojeg funkcija može preuzimati vrijednosti. Recimo raspon vrijednosti funkcije f(x)=|x| od 0 do beskonačnosti. Kako bismo otkrili značenje funkcije u određenom trenutku trebate zamijeniti argument funkcije njegov numerički ekvivalent, rezultirajući broj će biti značenje m funkcije. Neka je funkcija f(x)=|x| – 10 + 4x. Hajde da vidimo značenje funkcije u točki x=-2. Zamijenimo x brojem -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. To je značenje funkcije u točki -2 jednako je -16.

Bilješka!
Prije traženja vrijednosti funkcije u točki, provjerite nalazi li se unutar domene funkcije.

Koristan savjet
Slična metoda omogućuje otkrivanje značenja funkcije nekoliko argumenata. Razlika je u tome što ćete umjesto jednog broja morati zamijeniti nekoliko - prema broju argumenata funkcije.

Funkcija predstavlja uspostavljenu vezu između varijable y i varijable x. Štoviše, sve vrijednosti x, zvane argument, odgovaraju izuzetnoj vrijednosti y - funkcije. U grafičkom obliku funkcija je prikazana na kartezijevom koordinatnom sustavu u obliku grafa. Točke presjeka grafa s osi apscisa, na kojima su ucrtani argumenti x, nazivaju se nule funkcije. Pronalaženje prihvatljivih nula jedan je od zadataka pronalaženja zadane funkcije. U ovom slučaju uzimaju se u obzir sve dopuštene vrijednosti nezavisne varijable x koje čine domenu definicije funkcije (DOF).

upute

1. Nula funkcije je vrijednost argumenta x pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli. Međutim, samo oni argumenti koji su unutar opsega definicije funkcije koja se proučava mogu biti nule. Odnosno, postoji mnogo vrijednosti za koje je funkcija f(x) korisna.

2. Zapišite zadanu funkciju i izjednačite je s nulom, recimo f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Riješite dobivenu jednadžbu i pronađite njezine stvarne korijene. Korijeni kvadratne jednadžbe izračunavaju se uz podršku za pronalaženje diskriminante. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. Dakle, u ovom slučaju, dobivena su dva korijena kvadratne jednadžbe, koja odgovaraju argumente početne funkcije f(x).

3. Provjerite pripadaju li sve otkrivene x vrijednosti domeni definicije zadane funkcije. Saznajte OOF, da biste to učinili, provjerite početni izraz na prisutnost parnih korijena oblika?f (x), na prisutnost razlomaka u funkciji s argumentom u nazivniku, na prisutnost logaritamskih ili trigonometrijskih izrazi.

4. Kada razmatrate funkciju s izrazom ispod korijena parnog stupnja, uzmite kao domenu definicije sve argumente x, čije vrijednosti ne pretvaraju radikalni izraz u negativan broj (naprotiv, funkcija to čini nema smisla). Provjerite spadaju li otkrivene nule funkcije unutar određenog raspona prihvatljivih x vrijednosti.

5. Nazivnik razlomka ne može ići na nulu, stoga isključite one argumente x koji dovode do takvog rezultata. Za logaritamske količine treba uzeti u obzir samo one vrijednosti argumenta za koje je sam izraz veći od nule. Nule funkcije koje sublogaritamski izraz pretvaraju u nulu ili negativan broj moraju se odbaciti iz konačnog rezultata.

Bilješka!
Prilikom pronalaženja korijena jednadžbe mogu se pojaviti dodatni korijeni. To je lako provjeriti: samo zamijenite rezultirajuću vrijednost argumenta u funkciju i provjerite pretvara li se funkcija u nulu.

Koristan savjet
Povremeno funkcija nije izražena na očit način kroz svoj argument, tada je lako znati što je ta funkcija. Primjer za to je jednadžba kruga.

2. Nađimo nulte točke funkcije.

f(x) na x .

Odgovorite f(x) na x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Neka je f(x)=x 2 +4x +5 tada Nađimo takav x za koji je f(x)>0,

D=-4 Bez nula.

4. Sustavi nejednakosti. Nejednadžbe i sustavi nejednadžbi s dvije varijable

1) Skup rješenja sustava nejednadžbi je presjek skupova rješenja nejednadžbi koje su u njemu uključene.

2) Skup rješenja nejednadžbe f(x;y)>0 može se grafički prikazati na koordinatnoj ravnini. Tipično, pravac definiran jednadžbom f(x;y) = 0 dijeli ravninu na 2 dijela, od kojih je jedan rješenje nejednadžbe. Da biste odredili koji dio, potrebno je u nejednadžbu zamijeniti koordinate proizvoljne točke M(x0;y0) koja ne leži na pravcu f(x;y)=0. Ako je f(x0;y0) > 0, tada je rješenje nejednadžbe dio ravnine koji sadrži točku M0. ako je f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Skup rješenja sustava nejednadžbi je presjek skupova rješenja nejednadžbi koje su u njemu uključene. Neka nam je, na primjer, dan sustav nejednakosti:

.

Za prvu nejednadžbu skup rješenja je kružnica polumjera 2 sa središtem u ishodištu, a za drugu je to poluravnina koja se nalazi iznad pravca 2x+3y=0. Skup rješenja ovog sustava je presjek tih skupova, tj. polukrug.

4) Primjer. Riješite sustav nejednadžbi:

Rješenje 1. nejednadžbe je skup , 2. je skup (2;7) i treće je skup .

Sjecište tih skupova je interval (2;3], koji je skup rješenja sustava nejednadžbi.

5. Rješavanje racionalnih nejednadžbi metodom intervala

Metoda intervala temelji se na sljedećem svojstvu binoma (x-a): točka x = α dijeli brojevnu os na dva dijela - desno od točke α binom (x-α)>0, a na lijevo od točke α (x-α)<0.

Neka je potrebno riješiti nejednadžbu (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, gdje su α 1, α 2 ...α n-1, α n fiksni brojevi među kojima nema jednakih i takvi da je α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 metodom intervala postupite na sljedeći način: brojevi α 1, α 2 ...α n-1, α n nanesu se na numeričku os; u intervalu desno od najvećeg od njih, tj. brojeva α n, stavite znak plus, u intervalu koji slijedi s desna na lijevo stavite znak minus, zatim znak plus, pa znak minus itd. Tada će skup svih rješenja nejednadžbe (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 biti unija svih intervala u kojima se nalazi znak plus, a skup rješenja nejednadžbe (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Rješavanje racionalnih nejednadžbi (tj. nejednakosti oblika P(x) Q(x) gdje su polinomi) temelji se na sljedećem svojstvu kontinuirane funkcije: ako kontinuirana funkcija nestaje u točkama x1 i x2 (x1; x2) i nema drugih korijena između tih točaka, tada u intervalima (x1; x2) funkcija zadržava predznak.

Stoga, da bismo pronašli intervale konstantnog predznaka funkcije y=f(x) na brojevnom pravcu, označimo sve točke u kojima funkcija f(x) nestaje ili trpi diskontinuitet. Te točke dijele brojevni pravac na nekoliko intervala, unutar kojih je funkcija f(x) neprekidna i ne nestaje, tj. sprema znak. Za određivanje ovog znaka dovoljno je pronaći znak funkcije u bilo kojoj točki razmatranog intervala brojevnog pravca.

2) Odrediti intervale konstantnog predznaka racionalne funkcije, tj. Da bismo riješili racionalnu nejednadžbu, na brojevnom pravcu označimo korijene brojnika i korijene nazivnika, koji su ujedno i korijeni i lomne točke racionalne funkcije.

Rješavanje nejednadžbi metodom intervala

3. < 20.

Riješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti određen je sustavom nejednakosti:

Za funkciju f(x) = – 20. Nađi f(x):

odakle je x = 29 i x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Odgovor: . Osnovne metode rješavanja racionalnih jednadžbi. 1) Najjednostavniji: rješava se uobičajenim pojednostavljenjima - svođenjem na zajednički nazivnik, svođenjem sličnih pojmova i tako dalje. Kvadratne jednadžbe ax2 + bx + c = 0 rješavaju se pomoću...

X se mijenja na intervalu (0,1], a smanjuje se na intervalu)