Poiščimo ničle funkcije. Kaj so ničle funkcije in kako jih določiti Kako najti ničle funkcije ulomka

Kaj so funkcijske ničle? Odgovor je precej preprost - to je matematični izraz, ki pomeni področje definicije dane funkcije, v katerem je njena vrednost enaka nič. Funkcijske ničle se imenujejo tudi z nekaj preprostimi primeri.

Primeri

Oglejmo si preprosto enačbo y=x+3. Ker je ničla funkcije vrednost argumenta, pri katerem je y pridobil ničelno vrednost, nadomestimo 0 na levi strani enačbe:

V tem primeru je -3 želena ničla. Za določeno funkcijo obstaja samo en koren enačbe, vendar to ni vedno tako.

Poglejmo še en primer:

Nadomestimo 0 na levo stran enačbe, kot v prejšnjem primeru:

Očitno bosta v tem primeru dve ničli funkcije: x=3 in x=-3. Če bi enačba imela argument tretje stopnje, bi bile tri ničle. Potegnemo lahko preprost zaključek, da število korenin polinoma ustreza največji stopnji argumenta v enačbi. Vendar številne funkcije, na primer y = x 3, na prvi pogled nasprotujejo tej trditvi. Logika in zdrava pamet narekujeta, da ima ta funkcija samo eno ničlo - v točki x=0. Toda v resnici obstajajo tri korenine, samo vse sovpadajo. Če enačbo rešite v kompleksni obliki, postane to očitno. x=0 v tem primeru je koren, katerega množica je 3. V prejšnjem primeru ničle niso sovpadale, zato so imele množico 1.

Algoritem določanja

Iz predstavljenih primerov lahko vidite, kako določiti ničle funkcije. Algoritem je vedno enak:

1. Napišite funkcijo.
2. Nadomestite y ali f(x)=0.
3. Reši dobljeno enačbo.

Težavnost zadnje točke je odvisna od stopnje argumenta enačbe. Pri reševanju enačb visokih stopenj je še posebej pomembno vedeti, da je število korenov enačbe enako največji stopnji argumenta. To še posebej velja za trigonometrične enačbe, kjer deljenje obeh strani s sinusom ali kosinusom povzroči izgubo korenin.

Enačbe poljubne stopnje je najlažje rešiti s Hornerjevo metodo, ki je bila razvita posebej za iskanje ničel poljubnega polinoma.

Vrednost ničel funkcij je lahko negativna ali pozitivna, realna ali v kompleksni ravnini, singularna ali večkratna. Ali pa enačba morda nima korenin. Na primer, funkcija y=8 ne bo pridobila ničelne vrednosti za noben x, ker ni odvisna od te spremenljivke.

Enačba y=x 2 -16 ima dva korena in oba ležita v kompleksni ravnini: x 1 =4i, x 2 =-4i.

Pogoste napake

Pogosta napaka šolarjev, ki še niso povsem razumeli, kaj so ničle funkcije, je zamenjava argumenta (x) z ničlo namesto vrednosti (y) funkcije. Samozavestno zamenjajo x=0 v enačbo in na podlagi tega najdejo y. Toda to je napačen pristop.

Druga napaka, kot že rečeno, je redukcija za sinus ali kosinus v trigonometrični enačbi, zaradi česar se izgubi ena ali več ničel funkcije. To ne pomeni, da se v takšnih enačbah ne da ničesar reducirati, vendar je treba pri nadaljnjih izračunih upoštevati te "izgubljene" dejavnike.

Grafični prikaz

Z matematičnimi programi, kot je Maple, lahko razumete, kaj so ničle funkcije. Tam lahko sestavite graf tako, da določite želeno število točk in želeno lestvico. Tiste točke, v katerih graf seka os OX, so želene ničle. To je eden najhitrejših načinov za iskanje korenin polinoma, še posebej, če je njegov vrstni red višji od tretjega. Če je torej treba redno izvajati matematične izračune, iskati korenine polinomov poljubnih stopenj, graditi grafe, bo Maple ali podoben program preprosto nepogrešljiv za izvajanje in preverjanje izračunov.

Vrednosti argumentov z pri katerem f(z) gre na nič klicano. ničelna točka, tj. če f(a) = 0, torej a - ničelna točka.

Def. Pika A klical ničelni redn , Če FKP je mogoče predstaviti v obliki f(z) = , kjer
analitično funkcijo in
0.

V tem primeru je v Taylorjevem nizu razširitev funkcije (43) prva n koeficienti so nič

= =

itd. Določite vrstni red nič za
in (1 –cos z) pri z = 0

=
=

nič 1. reda

1 – cos z =
=

nič 2. reda

Def. Pika z =
klical točka v neskončnost in nič funkcije f(z), če f(
) = 0. Takšno funkcijo lahko razširimo v niz v negativnih potencah z : f(z) =
. če prvi n koeficienti enaki nič, potem pridemo do ničelni red n v točki v neskončnosti: f(z) = z - n
.

Izolirane singularne točke delimo na: a) odstranljive singularne točke; b) poli redan; V) v bistvu singularne točke.

Pika A klical odstranljiva singularna točka funkcije f(z) če pri z
a lim f(z) = z - končna številka .

Pika A klical pol redan (n 1) funkcije f(z), če je inverzna funkcija
= 1/ f(z) ima ničelni vrstni red n na točki A. Takšno funkcijo lahko vedno predstavimo kot f(z) =
, Kje
- analitična funkcija in
.

Pika A klical v bistvu posebna točka funkcije f(z), če pri z
a lim f(z) ne obstaja.

Serija Laurent

Oglejmo si primer konvergenčnega območja obroča r < | z 0 – a| < R s središčem v točki A za funkcijo f(z). Predstavimo dva nova kroga L 1 (r) In L 2 (R) blizu meja obroča s točko z 0 med njimi. Izrežemo prstan, povežemo kroge ob robovih reza, preidemo na preprosto povezano območje in v

Cauchyjeva integralska formula (39) dobimo dva integrala po spremenljivki z

f(z 0) =
+
, (42)

kjer gre integracija v nasprotni smeri.

Za integral čez L 1 pogoj je izpolnjen | z 0 – a | > | z – a |, in za integral nad L 2 inverzni pogoj | z 0 – a | < | z – a |. Zato je faktor 1/( z – z 0) razširi v vrsto (a) v integralu čez L 2 in v seriji (b) v integralu nad L 1. Kot rezultat dobimo razširitev f(z) v območju obroča v Serija Laurent s pozitivnimi in negativnimi močmi ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 -a) n (43)

Kje A n =
=
;A -n =

Razširitev pozitivnih moči (z 0 - A) klical desni del Laurentova vrsta (Taylorjeva vrsta) in raztezanje v negativnih potencah se imenuje. glavni del Serija Laurent.

Če je znotraj kroga L 1 ni singularnih točk in je funkcija analitična, potem je v (44) prvi integral po Cauchyjevem izreku enak nič in v razširitvi funkcije ostane samo pravilni del. Negativne moči v ekspanziji (45) se pojavijo le, ko je porušena analitičnost znotraj notranjega kroga in služijo za opis funkcije v bližini izoliranih singularnih točk.

Za konstruiranje Laurentove serije (45) za f(z) koeficiente razširitve lahko izračunate s splošno formulo ali uporabite razširitve elementarnih funkcij, vključenih v f(z).

Število terminov ( n) glavnega dela Laurentove vrste je odvisno od vrste singularne točke: odstranljiva singularna točka (n = 0) ; v bistvu singularna točka (n
); palican- vau naročilo(n - končna številka).

in za f(z) = pika z = 0 odstranljiva singularna točka, Ker ni glavnega dela. f(z) = (z -
) = 1 -

b) Za f(z) = pika z = 0 - drog 1. reda

f(z) = (z -
) = -

c) Za f(z) = e 1 / z pika z = 0 - v bistvu singularna točka

f(z) = e 1 / z =

če f(z) je analitičen v domeni D z izjemo m izolirane singularne točke in | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , potem pa ob razširitvi funkcije v pooblastilih z celotno letalo je razdeljeno na m+ 1 prstan | z jaz | < | z | < | z jaz+ 1 | in serija Laurent ima drugačen videz za vsak prstan. Pri širitvi pooblastil ( z – z jaz ) območje konvergence Laurentove vrste je krog | z – z jaz | < r, Kje r – razdalja do najbližje singularne točke.

itd. Razširimo funkcijo f(z) =v seriji Laurent v moči z In ( z - 1).

rešitev. Predstavimo funkcijo v obliki f(z) = - z 2 . Uporabimo formulo za vsoto geometrijske progresije
. V krogu |z|< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , tj. razpad vsebuje samo pravilno del Premaknimo se na zunanje območje kroga |z| > 1. Predstavimo funkcijo v obliki
, kjer je 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Ker , razširitev funkcije v potencah ( z - 1) ima obliko f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) za vse
1.

itd. Razširite funkcijo v niz Laurent f(z) =
: a) po stopinjah z v krogu | z| < 1; b) по степеням z prstan 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2).Rešitev. Razčlenimo funkcijo na preproste ulomke
= =+=
. Od pogojev z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

A) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], z | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), ob 1< |z| < 3.

z) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, z |2 - z| < 1

To je krog s polmerom 1 s središčem z = 2 .

V nekaterih primerih je močenjsko vrsto mogoče zmanjšati na niz geometrijskih progresij, po tem pa je enostavno določiti območje njihove konvergence.

itd. Raziščite konvergenco vrste

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

rešitev. To je vsota dveh geometrijskih progresij z q 1 = , q 2 = () . Iz pogojev njihove konvergence sledi < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

Matematična predstavitev funkcije jasno pokaže, kako ena količina popolnoma določa vrednost druge količine. Tradicionalno se štejejo numerične funkcije, ki dodelijo eno število drugemu. Nič funkcije je običajno vrednost argumenta, pri katerem funkcija postane nič.

Navodila

1. Če želite zaznati ničle funkcije, morate njeno desno stran enačiti z nič in rešiti nastalo enačbo. Predstavljajmo si, da vam je dana funkcija f(x)=x-5.

2. Da bi našli ničle te funkcije, vzemimo in enačimo njeno desno stran z nič: x-5=0.

3. Ko rešimo to enačbo, ugotovimo, da je x=5 in ta vrednost argumenta bo ničla funkcije. To pomeni, da ko je vrednost argumenta 5, funkcija f(x) postane nič.

Pod pogledom funkcije pri matematiki razumejo povezavo med elementi množic. Pravilneje rečeno, to je »zakon«, po katerem je celoten element ene množice (imenovan domena definicije) povezan z določenim elementom druge množice (imenovana domena vrednosti).

Boste potrebovali

• Poznavanje algebre in matematike.

Navodila

1. Vrednote funkcije To je določeno območje, iz katerega lahko funkcija prevzema vrednosti. Recimo razpon vrednosti funkcije f(x)=|x| od 0 do neskončnosti. Da bi odkrili pomen funkcije na določeni točki morate zamenjati argument funkcije njegov numerični ekvivalent, bo dobljeno število pomen m funkcije. Naj bo funkcija f(x)=|x| – 10 + 4x. Pa ugotovimo pomen funkcije v točki x=-2. Zamenjajmo x s številom -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. To je pomen funkcije v točki -2 je enako -16.

Opomba!
Preden iščete vrednost funkcije v točki, se prepričajte, da je znotraj domene funkcije.

Koristen nasvet
Podobna metoda omogoča odkrivanje pomena funkcije več argumentov. Razlika je v tem, da boste namesto ene številke morali zamenjati več - glede na število argumentov funkcije.

Funkcija predstavlja vzpostavljeno povezavo med spremenljivko y in spremenljivko x. Poleg tega vse vrednosti x, imenovane argument, ustrezajo izjemni vrednosti y - funkciji. V grafični obliki je funkcija prikazana na kartezičnem koordinatnem sistemu v obliki grafa. Presečišča grafa z abscisno osjo, na katerih so narisani argumenti x, se imenujejo ničle funkcije. Iskanje sprejemljivih ničel je ena od nalog iskanja dane funkcije. V tem primeru se upoštevajo vse dovoljene vrednosti neodvisne spremenljivke x, ki tvorijo domeno definicije funkcije (DOF).

Navodila

1. Ničla funkcije je vrednost argumenta x, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič. Ničle pa so lahko le tisti argumenti, ki so v obsegu definicije proučevane funkcije. To pomeni, da obstaja veliko vrednosti, za katere je funkcija f(x) uporabna.

2. Zapišite dano funkcijo in jo enačite z nič, recimo f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Rešite dobljeno enačbo in poiščite njene prave korenine. Koreni kvadratne enačbe se izračunajo s podporo za iskanje diskriminante. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. Tako dobimo v tem primeru dva korena kvadratne enačbe, ki ustrezata argumente začetne funkcije f(x).

3. Preverite vse zaznane vrednosti x glede pripadnosti domeni definicije dane funkcije. Ugotovite OOF, za to preverite začetni izraz za prisotnost sodih korenin oblike?f (x), za prisotnost ulomkov v funkciji z argumentom v imenovalcu, za prisotnost logaritemskih ali trigonometričnih izrazi.

4. Pri obravnavi funkcije z izrazom pod korenom sode stopnje vzemite kot domeno definicije vse argumente x, katerih vrednosti ne spremenijo radikalnega izraza v negativno število (nasprotno, funkcija nima smisla). Preverite, ali zaznane ničle funkcije spadajo v določeno območje sprejemljivih vrednosti x.

5. Imenovalec ulomka ne more iti na nič; zato izključite tiste argumente x, ki vodijo do takega rezultata. Za logaritemske količine je treba upoštevati samo tiste vrednosti argumenta, za katere je sam izraz večji od nič. Ničle funkcije, ki spremeni sublogaritemski izraz v nič ali negativno število, je treba iz končnega rezultata zavreči.

Opomba!
Pri iskanju korenin enačbe se lahko pojavijo dodatni koreni. To je enostavno preveriti: samo nadomestite dobljeno vrednost argumenta v funkcijo in se prepričajte, ali se funkcija spremeni na nič.

Koristen nasvet
Občasno funkcija ni izražena na očiten način s svojim argumentom, potem je enostavno vedeti, kaj je ta funkcija. Primer tega je enačba kroga.

2. Poiščite ničle funkcije.

f(x) pri x .

Odgovori f(x) pri x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Naj bo f(x)=x 2 +4x +5, potem najdemo tak x, za katerega je f(x)>0,

D=-4 Brez ničel.

4. Sistemi neenačb. Neenačbe in sistemi neenačb z dvema spremenljivkama

1) Množica rešitev sistema neenačb je presečišče množic rešitev neenačb, ki so vanj vključene.

2) Množico rešitev neenačbe f(x;y)>0 lahko grafično prikažemo na koordinatni ravnini. Običajno premica, definirana z enačbo f(x;y) = 0, deli ravnino na 2 dela, od katerih je eden rešitev neenačbe. Če želite ugotoviti, kateri del, morate v neenačbo nadomestiti koordinate poljubne točke M(x0;y0), ki ne leži na premici f(x;y)=0. Če je f(x0;y0) > 0, potem je rešitev neenačbe del ravnine, ki vsebuje točko M0. če f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Množica rešitev sistema neenačb je presečišče množic rešitev neenačb, ki so vanj vključene. Naj nam bo na primer dan sistem neenakosti:

.

Za prvo neenačbo je množica rešitev krog s polmerom 2 in s središčem v izhodišču, za drugo pa je polravnina, ki se nahaja nad premico 2x+3y=0. Množica rešitev tega sistema je presečišče teh množic, tj. polkrog.

4) Primer. Rešite sistem neenačb:

Rešitev 1. neenačbe je množica , 2. je množica (2;7) in tretja je množica .

Presek teh množic je interval (2;3], ki je množica rešitev sistema neenačb.

5. Reševanje racionalnih neenačb z intervalno metodo

Metoda intervalov temelji na naslednji lastnosti binoma (x-a): točka x = α deli številsko os na dva dela - desno od točke α je binom (x-α)>0, na levo od točke α (x-α)<0.

Naj bo treba rešiti neenačbo (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, kjer so α 1, α 2 ...α n-1, α n fiksni števila, med katerimi ni enakih in taka, da je α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 z uporabo intervalne metode nadaljujte na naslednji način: števila α 1, α 2 ...α n-1, α n so narisana na numerični osi; v intervalu desno od največjega med njimi, tj. števila α n, postavite znak plus, v intervalu, ki mu sledi od desne proti levi, postavite znak minus, nato znak plus, nato znak minus itd. Potem bo množica vseh rešitev neenačbe (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 unija vseh intervalov, v katerih je znak plus, in množica rešitev neenačbe (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Reševanje racionalnih neenačb (tj. neenakosti oblike P(x) Q(x) kjer so polinomi) temelji na naslednji lastnosti zvezne funkcije: če zvezna funkcija izgine v točkah x1 in x2 (x1; x2) in med tema točkama nima drugih korenin, potem v intervalih (x1; x2) funkcija ohrani predznak.

Zato, da bi našli intervale konstantnega predznaka funkcije y=f(x) na številski premici, označite vse točke, v katerih funkcija f(x) izgine ali ima diskontinuiteto. Te točke delijo številsko premico na več intervalov, znotraj katerih je funkcija f(x) zvezna in ne izniči, tj. shrani znak. Za določitev tega znaka je dovolj, da poiščemo znak funkcije na kateri koli točki obravnavanega intervala številske črte.

2) Določiti intervale konstantnega predznaka racionalne funkcije, tj. Za rešitev racionalne neenačbe označimo na številski premici korenine števca in korenine imenovalca, ki so hkrati korenine in prelomne točke racionalne funkcije.

Reševanje neenačb z intervalno metodo

3. < 20.

rešitev. Razpon sprejemljivih vrednosti je določen s sistemom neenakosti:

Za funkcijo f(x) = – 20. Poišči f(x):

od koder je x = 29 in x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Odgovor: . Osnovne metode reševanja racionalnih enačb. 1) Najenostavnejši: rešuje se z običajnimi poenostavitvami - redukcija na skupni imenovalec, redukcija podobnih členov itd. Kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0 rešimo z...

X se spreminja na intervalu (0,1] in se na intervalu zmanjšuje)