Функцийн тэг. Функцийн тэг Функцийн тэгийг хэрхэн тодорхойлох вэ
Чиг үүрэгматематикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Функц - хувьсагчийн хамаарал цагтхувьсагчаас x, хэрэв утга тус бүр Xнэг утгатай таарч байна цагт. Хувьсагч Xбие даасан хувьсагч эсвэл аргумент гэж нэрлэдэг. Хувьсагч цагтхамааралтай хувьсагч гэж нэрлэдэг. Бие даасан хувьсагчийн бүх утгууд (хувьсагч x) функцийн тодорхойлолтын мужийг бүрдүүлнэ. Хамаарах хувьсагчийн авдаг бүх утгууд (хувьсагч y), функцийн утгын мужийг үүсгэнэ.
Функцийн графикабсциссууд нь аргументийн утгатай тэнцүү, ординатууд нь функцын харгалзах утгатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, координатын хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг дуудна. хувьсагчийг абсцисса тэнхлэгийн дагуу зурна x, хувьсагчийн утгыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурна y. Функцийн графикийг зурахын тулд функцийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Функцийн үндсэн шинж чанаруудыг доор авч үзэх болно!
Функцийн графикийг бүтээхийн тулд манай программыг ашиглахыг зөвлөж байна - График функцуудыг онлайнаар зурах. Хэрэв танд энэ хуудсан дээрх материалыг судлах явцад асуух зүйл байвал манай форум дээр үргэлж асууж болно. Мөн форум дээр тэд танд математик, хими, геометр, магадлалын онол болон бусад олон сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд туслах болно!
Функцийн үндсэн шинж чанарууд.
1) Функцийн домэйн ба функцийн хүрээ.
Функцийн домэйн нь бүх хүчинтэй аргументын утгуудын багц юм x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон.
Функцийн муж нь бүх бодит утгуудын багц юм y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг.
Анхан шатны математикийн хувьд функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.
2) Функцийн тэг.
Функцийн утга тэгтэй тэнцүү байх аргументын утга тэг функц юм.
3) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.
Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд нь функцийн утгууд нь зөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг байдаг аргументуудын утгуудын багц юм.
4) Функцийн монотон байдал.
Өсөн нэмэгдэж буй функц (тодорхой интервалд) нь энэ интервалын аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч байх функц юм.
Буурах функц (тодорхой интервалд) нь энэ интервалын аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байх функц юм.
5) Тэгш (сондгой) функц.
Тэгш функц гэдэг нь тодорхойлолтын муж нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц юм Xтодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал f(-x) = f(x). Тэгш функцийн график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.
Тодорхойлолтын муж нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функцийг сондгой функц гэнэ Xтодорхойлолтын талбараас тэгш байдал нь үнэн юм f(-x) = - f(x)). Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
6) Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй функцууд.
|f(x)| гэсэн эерэг M тоо байвал функцийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг x-ийн бүх утгын хувьд ≤ M. Хэрэв ийм тоо байхгүй бол функц хязгааргүй болно.
7) Функцийн үечилсэн байдал.
Ямар ч x f(x+T) = f(x)-ийн хувьд тэгээс өөр T тоо байвал f(x) функц нь үечилсэн байна. Энэ хамгийн бага тоог функцийн үе гэж нэрлэдэг. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг. (Тригонометрийн томъёо).
Функцийн эдгээр шинж чанарыг судалсны дараа та функцийг хялбархан судалж, функцийн шинж чанарыг ашиглан функцийн графикийг байгуулж болно. Мөн үнэний хүснэгт, үржүүлэх хүснэгт, үелэх систем, деривативын хүснэгт, интегралын хүснэгтийн талаархи материалыг үзнэ үү.
Функцийн тэг
Функцийн тэг гэж юу вэ? Функцийн тэгийг аналитик болон графикаар хэрхэн тодорхойлох вэ?
Функцийн тэг- эдгээр нь функц тэгтэй тэнцүү байх аргументуудын утгууд юм.
y=f(x) томьёогоор өгөгдсөн функцийн тэгийг олохын тулд f(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
Хэрэв тэгшитгэлд үндэс байхгүй бол функц нь тэггүй болно.
1) y=3x+15 шугаман функцийн тэгүүдийг ол.
Функцийн тэгийг олохын тулд 3x+15 =0 тэгшитгэлийг шийд.
Ийнхүү функцийн тэг нь y=3x+15 - x= -5 байна.
2) f(x)=x²-7x+12 квадрат функцийн тэгүүдийг ол.
Функцийн тэгийг олохын тулд квадрат тэгшитгэлийг шийд
Үүний үндэс нь x1=3 ба x2=4 нь энэ функцийн тэг юм.
3) Функцийн тэгийг ол
Хэрэв хуваагч нь тэг биш байвал бутархай нь утга учиртай болно. Иймд x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн функцийг тодорхойлох домэйн (DO)
x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 тэгшитгэлийн язгууруудаас зөвхөн x=-4 нь тодорхойлолтын мужид багтана.
Графикаар өгөгдсөн функцийн тэгийг олохын тулд функцийн графикийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй.
Хэрэв график нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцоогүй бол функц нь тэггүй болно.
Графикийг зурагт үзүүлсэн функц нь дөрвөн тэгтэй -
Алгебрийн хувьд функцийн тэгийг олох асуудал нь бие даасан даалгавар болон бусад асуудлыг шийдвэрлэх үед, жишээлбэл, функцийг судлах, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэх мэт тохиолддог.
www.algebraclass.ru
Функцийг тэглэх дүрэм
Функцийн үндсэн ойлголт, шинж чанарууд
Дүрэм захидал харилцааны (хууль). Монотон функц .
Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй функцууд. Тасралтгүй ба
тасалдсан функцууд . Тэгш ба сондгой функцууд.
Тогтмол функц. Функцийн хугацаа.
Функцийн тэг . Асимптот .
Тодорхойлолтын домэйн ба функцийн утгын хүрээ. Анхан шатны математикийн хувьд функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг Р . Энэ нь функцийн аргумент нь зөвхөн тухайн функцийг тодорхойлсон бодит утгуудыг авч болно гэсэн үг юм. энэ нь зөвхөн бодит үнэ цэнийг хүлээн зөвшөөрдөг. Цөөн хэдэн X бүх хүчинтэй аргументын утгууд x, үүнд зориулсан функц y = е (x) тодорхойлогдсон, гэж нэрлэдэг функцийн домэйн. Цөөн хэдэн Ю бүх бодит үнэ цэнэ y, функц нь хүлээн зөвшөөрдөг, гэж нэрлэдэг функцийн хүрээ. Одоо бид функцийн илүү нарийн тодорхойлолтыг өгч болно: дүрэм олонлог хоорондын захидал харилцааны (хууль). XТэгээд Ю , үүний дагуу олонлогоос элемент бүрийн хувьд Xта багцаас зөвхөн нэг элементийг олох боломжтой Ю, функц гэж нэрлэдэг .
Энэ тодорхойлолтоос харахад функцийг дараах тохиолдолд тодорхойлсон гэж үзнэ.
— функцийн тодорхойлолтын домэйныг тодорхойлсон X ;
- функцийн хүрээг тодорхойлсон Ю ;
- захидал харилцааны дүрэм (хууль) нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд тус бүрийн хувьд
аргументын утга, зөвхөн нэг функцийн утгыг олох боломжтой.
Функцийн өвөрмөц байдлын энэхүү шаардлага нь заавал байх ёстой.
Монотон функц.
Хэрэв аргументийн аль нэг хоёр утгын хувьд x 1 ба xнөхцөл байдлын 2 x 2 > x 1 дагаж байна е (x 2) > е (x 1), дараа нь функц е (x) гэж нэрлэдэг нэмэгдэх; хэрэв байгаа бол x 1 ба xнөхцөл байдлын 2 x 2 > x 1 дагаж байна е (x 2) 
3-р зурагт үзүүлсэн функц нь хязгаарлагдмал боловч монотон биш юм. 4-р зураг дээрх функц нь яг эсрэгээрээ, монотон, гэхдээ хязгааргүй юм. (Үүнийг тайлбарлана уу!).
Тасралтгүй ба тасархай функцууд. Чиг үүрэг y = е (x) гэж нэрлэдэг Үргэлжилсэн цэг дээр x = а, Хэрэв:
1) функц нь хэзээ тодорхойлогддог x = а, өөрөөр хэлбэл е (а) байдаг;
2) байдаг хязгаарлагдмалхязгаар лим е (x) ;
Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол функцийг дуудна тэсрэх бодисцэг дээр x = а .
Хэрэв функц нь хугацаанд тасралтгүй байвал хүн бүр түүний тодорхойлолтын хүрээний цэгүүд, дараа нь үүнийг дууддаг тасралтгүй функц.
Тэгш ба сондгой функцууд. Хэрэв төлөө ямар ч xФункцийн тодорхойлолтын мужаас дараахь зүйлийг агуулна. е (— x) = е (x), дараа нь функц дуудагдана бүр; Хэрэв ийм зүйл тохиолдвол: е (— x) = — е (x), дараа нь функц дуудагдана хачин. Тэгш функцийн график Y тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй(Зураг 5), сондгой функцийн график Сим гарал үүсэлтэй холбоотой хэмжүүр(Зураг 6).
Тогтмол функц. Чиг үүрэг е (x) — үе үе, хэрэв ийм зүйл байгаа бол тэг биштоо Тюуны төлөө ямар ч xФункцийн тодорхойлолтын мужаас дараахь зүйлийг агуулна. е (x + Т) = е (x). Энэ хамгийн багадаадугаарыг дуудаж байна функцийн хугацаа. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг.
Жишээ 1. Тэр гэмийг нотол x 2 хугацаатай.
Шийдэл: Бид нүглийг мэднэ ( x+ 2 n) = нүгэл x, Хаана n= 0, ± 1, ± 2, …
Тиймээс нэмэлт 2 nсинус аргумент руу биш
түүний утгыг өөрчлөх e. Энэ өөр тоо байна уу
Ингэж жүжиглэе П- ийм тоо, жишээлбэл. тэгш байдал:
ямар ч үнэ цэнэд хүчинтэй x. Харин дараа нь болсон
газар ба at x= / 2, өөрөөр хэлбэл.
нүгэл(/2 + П) = нүгэл / 2 = 1.
Гэхдээ нүгэл бууруулах томъёоны дагуу (/ 2 + П) = cos П. Дараа нь
сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс cos гэж гарна П= 1, гэхдээ бид
Энэ нь зөвхөн үед л үнэн гэдгийг бид мэднэ П = 2 n. Хамгийн багаас нь
2-оос эхлэн тэг бус тоо n 2 бол энэ тоо
мөн үе нүгэл байдаг x. Үүнтэй ижил аргаар нотлогдож болно 2
мөн cos-ийн үе юм x .
Функцүүд нь tan гэдгийг нотол xболон ор xхугацаатай.
Жишээ 2. sin 2 функцийн үе ямар тоо вэ x ?
Шийдэл: Нүглийн 2-ыг авч үзье x= нүгэл (2 x+ 2 n) = нүгэл [ 2 ( x + n) ] .
Үүнийг нэмж байгааг бид харж байна nмаргаан руу x, өөрчлөгдөхгүй
функцийн утга. Тэг биш хамгийн жижиг тоо
-аас nбайна, тиймээс энэ нь нүгэл 2 үе юм x .
Функцийн тэг. Функц 0-тэй тэнцүү байх аргументын утгыг дуудна тэг ( root) функц. Функц олон тэгтэй байж болно. Жишээлбэл, функц y = x (x + 1) (x- 3) гурван тэгтэй: x = 0, x = — 1, x= 3. Геометрийн хувьд null функц – Энэ нь функцийн графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм X .
Зураг 7-д тэгтэй функцийн графикийг үзүүлэв. x = а , x = бТэгээд x = в .
Асимптот. Хэрэв функцийн график эхээс холдохдоо тодорхой шугамд тодорхойгүй хугацаагаар ойртож байвал энэ шугамыг гэнэ. асимптот.
Сэдэв 6. “Интервалын арга.”
Хэрэв x x 0-ийн хувьд f (x) f (x 0) байвал f (x) функцийг дуудна x 0 цэг дээр тасралтгүй.
Хэрэв функц I интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал түүнийг дуудна интервал дээр тасралтгүй I (Интервалыг I гэж нэрлэдэг функцийн тасралтгүй байдлын интервал). Энэ интервал дээрх функцийн график нь тасралтгүй шугам бөгөөд "цаасан дээрээс харандаагаа өргөхгүйгээр зурж болно" гэж тэд хэлдэг.
Үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанар.
Хэрэв (a ; b) интервал дээр f функц тасралтгүй бөгөөд алга болохгүй бол энэ интервал дээр тогтмол тэмдэгтэй байна.
Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга буюу интервалын арга нь энэ шинж чанарт суурилдаг. f(x) функц нь I интервал дээр тасралтгүй байх ба энэ интервал дахь хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд алга болно. Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанараар эдгээр цэгүүд I-ийг интервалд хуваадаг бөгөөд эдгээр цэг бүрт f(x) c тасралтгүй функц нь тогтмол тэмдгийг хадгалдаг. Энэ тэмдгийг тодорхойлохын тулд ийм интервал бүрээс аль нэг цэг дэх f(x) функцийн утгыг тооцоолоход хангалттай. Үүний үндсэн дээр бид интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх дараах алгоритмыг олж авна.
Маягтын тэгш бус байдлын интервалын арга
Интервалын арга. Дундаж түвшин.
Та хүч чадлаа сорьж, Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд хэр бэлэн байгаагаа мэдмээр байна уу?
Шугаман функц
Маягтын функцийг шугаман гэж нэрлэдэг. Жишээ болгон функцийг авч үзье. Энэ нь 3″> үед эерэг, харин сөрөг байна. Цэг нь () функцийн тэг юм. Тооны тэнхлэгт энэ функцийн тэмдгүүдийг харуулъя.
Бид "цэгээр дамжин өнгөрөх үед функц тэмдэг өөрчлөгддөг" гэж хэлдэг.
Функцийн тэмдгүүд нь функцийн графикийн байрлалтай тохирч байгааг харж болно: хэрэв график нь тэнхлэгээс дээш байвал тэмдэг нь " ", доор нь " " байвал тэмдэг.
Хэрэв бид үр дүнгийн дүрмийг дурын шугаман функц болгон нэгтгэвэл бид дараах алгоритмыг олж авна.
Квадрат функц
Та квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхээ санаж байна гэж найдаж байна. Үгүй бол “Квадрат тэгш бус байдал” сэдвийг уншина уу. Квадрат функцийн ерөнхий хэлбэрийг сануулъя: .
Одоо квадрат функц ямар тэмдэг авахыг санацгаая. Түүний график нь парабол бөгөөд функц нь парабол тэнхлэгээс дээш байгаа тохиолдолд " " тэмдэг, хэрэв парабол тэнхлэгээс доош байвал " " тэмдэг авна.
Хэрэв функц нь тэгтэй (утгууд) байвал парабол нь тэнхлэгийг харгалзах квадрат тэгшитгэлийн үндэс гэсэн хоёр цэгээр огтолно. Тиймээс тэнхлэг нь гурван интервалд хуваагддаг бөгөөд язгуур тус бүрээр дамжин өнгөрөх үед функцын тэмдгүүд ээлжлэн өөрчлөгддөг.
Бүр парабол зурахгүйгээр ямар нэгэн байдлаар тэмдгүүдийг тодорхойлох боломжтой юу?
Квадрат гурвалсан тоог үржвэрлэх боломжтой гэдгийг санаарай.
Тэнхлэг дээрх үндсийг тэмдэглэе.
Функцийн тэмдэг нь зөвхөн язгуураар дамжих үед л өөрчлөгдөж болно гэдгийг бид санаж байна. Энэ баримтыг ашиглацгаая: тэнхлэгийг үндэсээр хуваасан гурван интервал бүрийн хувьд зөвхөн дур зоргоороо сонгосон нэг цэг дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлоход хангалттай: интервалын үлдсэн цэгүүдэд тэмдэг нь ижил байх болно. .
Бидний жишээнд: 3″>-д хаалтанд байгаа илэрхийлэл хоёулаа эерэг байна (орлуулах, жишээ нь: 0″>). Бид тэнхлэг дээр "" тэмдэг тавьдаг.
За, (жишээ нь орлуулах), хаалт хоёулаа сөрөг байвал бүтээгдэхүүн эерэг байна гэсэн үг:
Ийм л байна интервалын арга: интервал бүрийн хүчин зүйлсийн шинж тэмдгийг мэдэж, бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүний тэмдгийг тодорхойлно.
Функцид тэг байхгүй эсвэл зөвхөн нэг байх тохиолдлуудыг бас авч үзье.
Хэрэв тэд байхгүй бол үндэс байхгүй болно. Энэ нь "үндсээр дамжин өнгөрөх" зүйл байхгүй гэсэн үг юм. Энэ нь функц нь бүх тооны мөрөнд зөвхөн нэг тэмдэг авна гэсэн үг юм. Үүнийг функц болгон орлуулах замаар амархан тодорхойлж болно.
Хэрэв зөвхөн нэг язгуур байвал парабол тэнхлэгт хүрдэг тул язгуураар дамжин өнгөрөх үед функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Ийм нөхцөл байдалд бид ямар дүрэм гаргаж болох вэ?
Хэрэв та ийм функцийг хүчин зүйлээр тооцвол хоёр ижил хүчин зүйл гарч ирнэ.
Мөн ямар ч квадрат илэрхийлэл нь сөрөг биш юм! Тиймээс функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Ийм тохиолдолд бид тэмдэг нь өөрчлөгдөөгүй үндсийг дөрвөлжин дугуйлснаар тодруулна.
Бид ийм үндэс гэж нэрлэх болно олон тоо.
Тэгш бус байдлын интервалын арга
Одоо ямар ч квадрат тэгш бус байдлыг парабол зурахгүйгээр шийдэж болно. Квадрат функцийн тэмдгүүдийг тэнхлэг дээр байрлуулж, тэгш бус байдлын тэмдгээс хамааран интервалуудыг сонгоход л хангалттай. Жишээлбэл:
Тэнхлэг дээрх үндсийг хэмжиж, тэмдгүүдийг байрлуулцгаая.
Бидэнд "" тэмдэг бүхий тэнхлэгийн хэсэг хэрэгтэй; тэгш бус байдал нь хатуу биш тул үндэс нь өөрөө шийдэлд багтсан болно.
Одоо оновчтой тэгш бус байдлыг авч үзье - тэгш бус байдал, хоёр тал нь оновчтой илэрхийлэл юм ("Рационал тэгшитгэл" -ийг үзнэ үү).
Жишээ:
Нэгээс бусад бүх хүчин зүйлүүд энд "шугаман" байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлийн хувьсагчийг агуулна. Интервалын аргыг хэрэглэхийн тулд бидэнд ийм шугаман хүчин зүйлс хэрэгтэй - тэдгээрийн үндэсээр дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг. Гэвч үржүүлэгч нь огт үндэсгүй. Энэ нь үргэлж эерэг байдаг (үүнийг өөрөө шалгаарай), тиймээс бүхэл тэгш бус байдлын шинж тэмдэгт нөлөөлөхгүй гэсэн үг юм. Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг түүгээр хувааж, үүнээс ангижрах боломжтой гэсэн үг юм.
Одоо бүх зүйл квадрат тэгш бус байдлын адил байна: хүчин зүйлүүд тус бүр нь ямар цэгүүдэд тэг болохыг тодорхойлж, тэнхлэг дээр эдгээр цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгүүдийг байрлуулна. Би маш чухал баримтад таны анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна:
Тэгш тооны хувьд бид өмнөхтэй адил зүйлийг хийдэг: бид цэгийг квадратаар дугуйлж, үндсийг дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг өөрчлөхгүй. Гэхдээ сондгой тооны хувьд энэ дүрэм хамаарахгүй: үндэс дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөнө. Тиймээс бид ийм язгуураар олон тооны биш юм шиг нэмэлт зүйл хийдэггүй. Дээрх дүрмүүд тэгш, сондгой бүх хүчинд хамаарна.
Хариултанд бид юу бичих ёстой вэ?
Хэрэв тэмдгүүдийн ээлжийг зөрчсөн бол та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь тэгш бус байдал нь хатуу биш бол хариулт нь дараахь зүйлийг агуулна. бүх сүүдэрлэсэн цэгүүд. Гэхдээ тэдний зарим нь ихэвчлэн тусдаа байдаг, өөрөөр хэлбэл сүүдэрт багтдаггүй. Энэ тохиолдолд бид тэдгээрийг хариултанд тусгаарлагдсан цэг болгон нэмнэ (буржгар хаалтанд):
Жишээ (өөрөө шийднэ үү):
Хариултууд:
- Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дунд энэ нь энгийн байвал энэ нь үндэс юм, учир нь үүнийг төлөөлж болно.
.
Аргументын утгууд z аль нь е(z) дуудагдсан тэг рүү очно. тэг цэг, өөрөөр хэлбэл Хэрэв е(а) = 0, тэгвэл a - тэг цэг.
Def.Цэг Адуудсан тэг дараалалn
, Хэрэв
FKP-ийг маягтаар төлөөлж болно е(z) =, хаана 
аналитик функц ба 
0.
Энэ тохиолдолд Тейлорын цувралд функцийн өргөтгөл (43), эхний n коэффициентүүд нь тэг байна
=
=
гэх мэт. -ийн тэгийн дарааллыг тодорхойл 
ба (1 – cos z) цагт z
=
0
=
=
тэг 1-р дараалал
1 - учир нь z
=
=
тэг 2-р дараалал
Def.Цэг z
=
дуудсан хязгааргүй цэгТэгээд тэгфункцууд е(z), Хэрэв е(
) = 0. Ийм функцийг сөрөг хүчинтэй цуврал болгон өргөжүүлж болно z
: е(z)
=
. Хэрэв
эхлээд n
Коэффициент нь тэгтэй тэнцүү бол бид үүнд хүрнэ тэг дараалал n
хязгааргүй цэг дээр: е(z)
= z
-
n
.
Тусгаарлагдсан ганц цэгүүдийг дараахь байдлаар хуваана: a) зөөврийн ганц цэгүүд; б) захиалгын туйлn; V) үндсэндээ онцгой цэгүүд.
Цэг Адуудсан зөөврийн ганц цэгфункцууд е(z) хэрэв цагт z 
а
лим е(z)
= -тайэцсийн тоо .
Цэг Адуудсан захиалгын туйлn
(n
1) функцууд е(z), урвуу функцтэй бол 
=
1/
е(z) дараалал нь тэг байна nцэг дээр А.Ийм функцийг үргэлж хэлбэрээр төлөөлж болно е(z)
=
, Хаана 
- аналитик функц ба 
.
Цэг Адуудсан үндсэндээ онцгой цэгфункцууд е(z), хэрэв цагт z 
а
лим е(z) байдаггүй.
Лорентын цуврал
Цагираг нийлэх мужийн тохиолдлыг авч үзье r < | z 0 – а| < Рцэг дээр төвлөрсөн Афункцийн хувьд е(z). Хоёр шинэ дугуйланг танилцуулъя Л 1 (r) Мөн Л 2 (Р) цэг бүхий цагирагийн хилийн ойролцоо zТэдний хооронд 0 байна. Бөгжний зүсэлт хийж, зүсэлтийн ирмэгийн дагуу тойргийг холбож, энгийн холбосон бүс рүү шилжинэ.
Коши интеграл томьёо (39) бид z хувьсагч дээр хоёр интегралыг олж авна
е(z 0)
=
+
,
(42)
интеграци эсрэг чиглэлд явагддаг.
Интегралын хувьд Л 1 нөхцөл хангагдсан | z 0 – а | > | z – а |, мөн интеграл дээр Л 2 урвуу нөхцөл | z 0 – а | < | z – а |. Тиймээс 1/( z – z 0) интеграл дээр (a) цуваа руу тэлэх Л 2 ба цуваа (b)-ийн интеграл дээр Л 1 . Үүний үр дүнд бид өргөтгөлийг олж авдаг е(z) цагирагийн бүсэд Лорентын цувралэерэг ба сөрөг хүчээр ( z 0 – а)
е(z 0)
=
А n
(z 0 -а) n
(43)
Хаана А n
=
=
;А -n
=
Эерэг хүч чадлын тэлэлт (z 0 - А) дуудсан баруун хэсэгЛорентын цуврал (Тэйлорын цуврал) ба сөрөг хүчинд тэлэлт гэж нэрлэдэг. гол хэсэгЛорентын цуврал.
Хэрэв тойрог дотор байвал Л 1-д ганц цэг байхгүй ба функц аналитик бол (44)-д эхний интеграл Коши теоремоор тэгтэй тэнцүү байх ба функцийг өргөтгөхөд зөвхөн зөв хэсэг л үлдэнэ. Өргөтгөх (45) дахь сөрөг хүч нь зөвхөн дотоод тойрог дотор аналитик байдал зөрчигдсөн үед л гарч ирдэг бөгөөд тусгаарлагдсан ганц цэгүүдийн ойролцоо функцийг тодорхойлоход үйлчилдэг.
Лорентын цувралыг (45) бүтээх е(z) та ерөнхий томьёо ашиглан тэлэлтийн коэффициентийг тооцоолж болно эсвэл үндсэн функцүүдийн өргөтгөлийг ашиглаж болно е(z).
Нэр томъёоны тоо ( n) Лорентын цувралын гол хэсэг нь ганц цэгийн төрлөөс хамаарна. зөөврийн ганц цэг
(n
=
0)
; үндсэндээ онцгой цэг
(n 
);
туйлn- хөөх захиалга(n
-
эцсийн тоо).
болон төлөө е(z)
=
цэг z
= 0 зөөврийн ганц цэг,учир нь үндсэн хэсэг байхгүй. е(z)
=
(z
-
) = 1 -
б) төлөө е(z)
=
цэг z
= 0 -
1-р захиалгын шон
е(z)
=
(z
-
) =
-
в) төлөө е(z) = д 1 / zцэг z = 0 - үндсэндээ онцгой цэг
е(z)
=
д 1 /
z =
Хэрэв е(z) нь домайн дахь аналитик юм Д-ийг эс тооцвол мтусгаарлагдсан ганц цэгүүд 
болон | z 1 |
< |z 2 |
< . . . < |z м| , дараа нь эрх мэдэл дэх функцийг өргөжүүлэх үед zонгоц бүхэлдээ хуваагдана м+ 1 бөгж | z би |
< | z
| < | z би+ 1 | мөн Лорентын цуврал нь бөгж болгонд өөр өөр дүр төрхтэй байдаг. Эрх мэдлээ тэлэх үед ( z
–
z би
) Лоран цувралын нийлэх муж нь тойрог | z
–
z би
| < r, Хаана r
– хамгийн ойрын ганц цэг хүртэлх зай.
гэх мэт. Функцийг өргөжүүлье е(z)
=
эрх мэдэл дэх Лорентын цувралд zТэгээд ( z
-
1).
Шийдэл. Функцийг хэлбэрээр илэрхийлье е(z)
= - z 2
. Бид геометрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашигладаг 
. |z| тойрогт< 1 ряд сходится и е(z)
= - z 2
(1 + z
+ z 2
+ z 3
+ z 4
+ . . .) = - z 2
- z 3
- z 4 - . . . , өөрөөр хэлбэл задралд зөвхөн зөвХэсэг. |z| тойргийн гаднах муж руу шилжье > 1. Функцийг хэлбэрээр илэрхийлье 
, хаана 1/| z|
< 1, и получим разложение е(z)
= z
=z
+ 1 +
Учир нь , эрх мэдлийн функцийг өргөжүүлэх ( z
-
1) харагдаж байна е(z)
= (z
-
1) -1
+ 2 + (z
-
1) хүн бүрт 
1.
гэх мэт. Функцийг Лорентын цуврал болгон өргөжүүл е(z)
=
:
a) градусаар zтойрог дотор | z|
< 1; b)
по степеням z
бөгж 1<
|z|
< 3 ; c)
по степеням (z
–
2).Шийдэл. Функцийг энгийн бутархай болгон задалъя
=
=
+
=
.
Нөхцөлөөс z
=1
А
= -1/2 , z
=3
Б
= ½.
A) е(z)
=
½ [ 
]
= ½ [ 
-(1/3)
], |-тэй z|<
1.
б) е(z)
= - ½ [ 
+
]
= -
(
), 1 цагт< |z|
< 3.
хамт) е(z)
=
½ [ 
]= -
½
[ 
]
=
=
- ½
= -
, |2 -тэй z|
< 1
Энэ нь төвтэй 1 радиустай тойрог юм z = 2 .
Зарим тохиолдолд хүч чадлын цувааг геометрийн прогрессийн багц болгон бууруулж болох бөгөөд үүний дараа тэдгээрийн нэгдэх бүсийг тодорхойлоход хялбар байдаг.
гэх мэт. Цувралын нийлэлтийг судал
.
. . +
+
+
+
1
+ ()
+ ()
2
+ ()
3
+ . . .
Шийдэл. Энэ нь хоёр геометр прогрессийн нийлбэр юм q 1
=
, q 2 = () . Тэдний нэгдэх нөхцлөөс харахад дараах байдалтай байна 
< 1 ,
< 1 или |z|
> 1 , |z|
< 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо
1 < |z|
< 2 .
2. Функцийн тэгүүдийг олъё.
f(x) дээр x 
.
x дээр f(x) гэж хариул .
2) x 2 >-4x-5;
x 2 +4x +5>0;
f(x)=x 2 +4x +5 гэж бодъё, тэгвэл f(x)>0 гэсэн ийм х-г олъё.
D=-4 Тэг байхгүй.
4. Тэгш бус байдлын системүүд. Хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдал ба тэгш бус байдлын систем
1) Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багц нь түүнд багтсан тэгш бус байдлын шийдүүдийн олонлогийн огтлолцол юм.
2) f(x;y)>0 тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцыг координатын хавтгайд графикаар дүрсэлж болно. Ерөнхийдөө f(x;y) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун нь хавтгайг 2 хэсэгт хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь тэгш бус байдлын шийдэл юм. Аль хэсгийг тодорхойлохын тулд f(x;y)=0 шулуун дээр оршдоггүй дурын M(x0;y0) цэгийн координатыг тэгш бус байдалд орлуулах хэрэгтэй. Хэрэв f(x0;y0) > 0 бол тэгш бус байдлын шийдэл нь M0 цэгийг агуулсан хавтгайн хэсэг болно. хэрэв f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.
3) Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багц нь түүнд багтсан тэгш бус байдлын шийдүүдийн олонлогийн огтлолцол юм. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын системийг өгье.
.
Эхний тэгш бус байдлын хувьд шийдлийн олонлог нь эх цэг дээр төвлөрсөн 2 радиустай тойрог, хоёр дахь нь 2x+3y=0 шулуун шугамын дээгүүр байрлах хагас хавтгай юм. Энэ системийн шийдлүүдийн багц нь эдгээр олонлогуудын огтлолцол, i.e. хагас тойрог.
4) Жишээ. Тэгш бус байдлын системийг шийд:
1-р тэгш бус байдлын шийдэл нь олонлог, 2-р олонлог (2;7), гурав дахь нь олонлог юм.
Эдгээр олонлогуудын огтлолцол нь тэгш бус байдлын системийн шийдүүдийн олонлог болох (2;3] интервал юм.
5. Рационал тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдвэрлэх
Интервалын арга нь биномын (x-a) дараах шинж чанарт суурилдаг: x = α цэг нь тооны тэнхлэгийг хоёр хэсэгт хуваадаг - α цэгийн баруун талд бином (x-α)>0, мөн α цэгийн зүүн талд (x-α)<0.
(x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, α 1, α 2 ...α n-1, α n тогтмол байгаа тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай байг. Тэнцүү тоо байхгүй, α 1 гэсэн тоонууд< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 интервалын аргыг ашиглан дараах байдлаар ажиллана: α 1, α 2 ...α n-1, α n тоонуудыг тоон тэнхлэгт зурна; Тэдний хамгийн том нь баруун талд байгаа интервалд, i.e. α n тоонууд, нэмэх тэмдэг тавьж, баруунаас зүүн тийш дагах завсарт хасах тэмдэг, дараа нь нэмэх тэмдэг, дараа нь хасах тэмдэг гэх мэт тэмдэг тавина. Тэгвэл (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 тэгш бус байдлын бүх шийдлийн олонлог нь нэмэх тэмдэг тавьсан бүх интервалуудын нэгдэл ба олонлог болно. тэгш бус байдлын шийдүүдийн (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх (жишээ нь, хэлбэрийн тэгш бус байдал). 
P(x) Q(x) нь олон гишүүнт) нь тасралтгүй функцийн дараах шинж чанарт суурилдаг: хэрэв тасралтгүй функц x1 ба x2 (x1; x2) цэгүүдэд алга болж, эдгээр цэгүүдийн хооронд өөр үндэс байхгүй бол интервал (x1; x2) функц нь тэмдэгээ хадгална.
Иймд тоон шулуун дээрх y=f(x) функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олохын тулд f(x) функц алга болох эсвэл тасалдсан бүх цэгийг тэмдэглэ. Эдгээр цэгүүд нь тооны шугамыг хэд хэдэн интервалд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн дотор f(x) функц тасралтгүй бөгөөд алга болдоггүй, өөрөөр хэлбэл. тэмдгийг хадгалдаг. Энэ тэмдгийг тодорхойлохын тулд тооны шугамын авч үзсэн интервалын аль ч цэгээс функцийн тэмдгийг олоход хангалттай.
2) Рационал функцийн тогтмол тэмдгийн интервалыг тодорхойлох, жишээлбэл. Рациональ тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд бид тоон шулуун дээр тоологчийн язгуур ба хувагчийн язгуурыг тэмдэглэдэг бөгөөд эдгээр нь мөн рационал функцийн үндэс ба таслах цэг юм.
Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
3. 
< 20.
Шийдэл. Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тэгш бус байдлын системээр тодорхойлно.
f(x) = функцийн хувьд – 20. f(x)-г ол:
үүнээс x = 29 ба x = 13.
f(30) = – 20 = 0.3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.
Хариулт: . Рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд. 1) Хамгийн энгийн нь: ердийн хялбарчлах замаар шийдэгддэг - нийтлэг хуваагч болгон бууруулах, ижил төстэй нэр томъёог багасгах гэх мэт. ax2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг...
X интервал дээр (0,1] өөрчлөгдөж, интервал дээр буурдаг)