Байршил тооллын систем дэх арифметик үйлдлүүд

Бүх байрлалын тооллын систем дэх арифметик үйлдлүүд нь таны сайн мэддэг дүрмийн дагуу хийгддэг.

Нэмэлт.Хоёртын тооллын системд тоо нэмэх асуудлыг авч үзье. Энэ нь нэг оронтой хоёртын тоог нэмэх хүснэгтэд үндэслэсэн болно.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Хоёрыг нэмэхэд цифр нь хальж, хамгийн чухал цифр рүү шилждэг гэдгийг анхаарах нь чухал. Түүнд байгаа тооны утга суурьтай тэнцүү буюу түүнээс их болсон тохиолдолд оронтой тоон халилт үүсдэг.

Олон битийн хоёртын тоог нэмэх нь дээрх нэмэх хүснэгтийн дагуу бага эрэмбээс өндөр эрэмбийн цифр рүү шилжих боломжит шилжүүлгийг харгалзан хийгдэнэ. Жишээлбэл, 110 2 ба 11 2 хоёртын тоог баганад нэмье.

Тооцооллын зөв эсэхийг аравтын бутархай тооллын системд нэмэх замаар шалгая. Хоёртын тоог аравтын тооллын системд хөрвүүлээд дараа нь нэмье.

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Одоо хоёртын нэмэхийн үр дүнг аравтын тоо руу хөрвүүлье:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Үр дүнг харьцуулж үзье - нэмэлтийг зөв гүйцэтгэсэн.

Хасах.Хоёртын тоонуудыг хасах аргыг авч үзье. Энэ нь нэг оронтой хоёртын тоог хасах хүснэгтэд үндэслэсэн болно. Бага тооноос (0) их тоог (1) хасах үед хамгийн өндөр оронтой тооноос зээл олгоно. Хүснэгтэнд зээлийг 1-р шугамаар тэмдэглэв.

Үржүүлэх.Үржүүлэх нь нэг оронтой хоёртын тоонуудын үржүүлэх хүснэгтэд суурилдаг.

Хэлтэс.Хуваах үйлдлийг аравтын бутархай тооллын системд хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх алгоритмтай төстэй алгоритм ашиглан гүйцэтгэнэ. Жишээлбэл, 110 2 хоёртын тоог 11 2-т хуваая.

Өөр өөр тооны системд илэрхийлэгдсэн тоон дээр арифметик үйлдлүүд хийхийн тулд эхлээд тэдгээрийг нэг системд хөрвүүлэх шаардлагатай.

Даалгаврууд

1.22. 1010 2 ба 10 2 хоёртын тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, арифметик үйлдлийн зөв эсэхийг цахим тооны машин ашиглан шалгана.

1.23. Найман тоог нэмнэ: 5 8 ба 4 8, 17 8 ба 41 8.

1.24. Арван арван зургаат тоонуудыг хасна: F 16 ба A 16, 41 16 ба 17 16.

1.25. 17 8 ба 17 16, 41 8 ба 41 16 гэсэн тоонуудыг нэмнэ үү.

Жич:
Та зөвхөн нэг тооны системд үйлдлүүдийг хийх боломжтой; хэрэв танд өөр тооллын систем өгөгдсөн бол эхлээд бүх тоог нэг тооллын системд хөрвүүлээрэй.
Хэрэв та суурь нь 10-аас их тооллын системтэй ажиллаж байгаа бөгөөд таны жишээнд үсэг байгаа бол түүнийг аравтын бутархайн систем дэх тоогоор оюун ухаанаараа сольж, шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, үр дүнг анхны тооллын систем рүү хөрвүүлээрэй.

Нэмэлт:
Бага сургуульд биднийг багана, газар тус бүрээр нь нэмэхийг зааж байсныг бүгд санаж байгаа. Хэрэв цифрийг нэмэхэд 9-өөс их тоо гарсан бол бид үүнээс 10-ыг хасч, үр дүнг хариултанд бичиж, дараагийн цифр дээр 1-ийг нэмнэ. Үүнээс бид дүрмийг томъёолж болно:

1. "Багананд" нугалахад илүү тохиромжтой
2. Байраар нь нэмбэл, >-ийн цифр нь тухайн тооллын системийн цагаан толгойн хамгийн том цифрээс их байвал энэ тооноос тооллын системийн суурийг хасна.
3. Бид үр дүнг шаардлагатай ангилалд бичдэг
4. Дараагийн цифр дээр нэгийг нэмнэ үү

Жишээ:

Хоёртын тооллын системд 1001001110, 100111101 тоог нэмнэ.

1001001110

100111101

1110001011

Хариулт: 1110001011

F3B ба 5A-г арван арван тоот тэмдэглэгээнд нэмнэ

FE0

Хариулт: FE0

Хасах: Бага сургуульд багана, газрын үнэ цэнийг газрын үнэ цэнээс хасахыг сургаж байсныг бүгд санаж байгаа. Хэрэв оронтой тоогоор хасах үед 0-ээс бага тоо гарсан бол бид хамгийн дээд цифрээс нэгийг "зээлж" хүссэн орон дээрээ 10-ыг нэмж, шаардлагатай тоог шинэ тооноос хасна. Үүнээс бид дүрмийг томъёолж болно:

1. "Багананд" хасах нь илүү тохиромжтой.
2. Хэрэв цифр байрандаа байгаа бол араар нь хасна< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Бид хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг

Жишээ:

Хоёртын тооллын системд 1001001110-аас 100111101 тоог хас.

1001001110

100111101

100010001

Хариулт: 100010001

F3B-ээс 5А-г 16-тын тоогоор хас

D96

Хариулт: D96

Хамгийн гол нь танд зөвхөн өгөгдсөн тооны системийн тоонууд байгаа гэдгийг бүү мартаарай, мөн оронтой нэр томъёо хоорондын шилжилтийн талаар бүү мартаарай.
Үржүүлэх:

Бусад тооллын системд үржүүлэх нь бидний үржүүлэхэд дассантай яг адилхан явагддаг.

1. "Багананд" үржүүлэх нь илүү тохиромжтой.
2. Аливаа тооллын системд үржүүлэх нь аравтын бутархайн системтэй ижил дүрмийг баримталдаг. Гэхдээ бид зөвхөн тооны системийн өгсөн цагаан толгойг ашиглаж болно

Жишээ:

Хоёртын тооллын системд 10111-ийг 1101-ээр үржүүлнэ

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Хариулт: 100101011

F3B-г арван зургаатын тоогоор А тоогоор үржүүлнэ

F3B

984E

Хариулт: 984E

Хариулт: 984E

Хамгийн гол нь танд зөвхөн өгөгдсөн тооны системийн тоонууд байгаа гэдгийг бүү мартаарай, мөн оронтой нэр томъёо хоорондын шилжилтийн талаар бүү мартаарай.

Хэсэг:

Бусад тооллын системд хуваах нь бидний хуваахад дассантай яг адилхан явагддаг.

1. "Багананд" хуваах нь илүү тохиромжтой.
2. Аливаа тооллын системд хуваах нь аравтын бутархайн системтэй ижил дүрмийг баримталдаг. Гэхдээ бид зөвхөн тооны системийн өгсөн цагаан толгойг ашиглаж болно

Жишээ:

Хоёртын тооллын системд 1011011-ийг 1101-д хуваа

Хуваах F 3 8 дугаарын хувьд B арван зургаатын тооллын системд

Хамгийн гол нь танд зөвхөн өгөгдсөн тооны системийн тоонууд байгаа гэдгийг бүү мартаарай, мөн оронтой нэр томъёо хоорондын шилжилтийн талаар бүү мартаарай.

АЛБАН БУС

Байршлын бус тооллын системүүд

Байршлын бус тооллын системүүд түүхэнд анх гарч ирсэн. Эдгээр системүүдэд тоон тэмдэгт бүрийн утга нь тогтмол бөгөөд түүний байрлалаас хамаардаггүй. Байршлын бус системийн хамгийн энгийн тохиолдол бол тоонуудыг тэмдэглэхэд нэг тэмдэгт ашигладаг нэгж систем бөгөөд ихэвчлэн зураас, заримдаа цэг байдаг бөгөөд тэдгээрийн заасан тоонд тохирох хэмжигдэхүүн нь үргэлж байрладаг.

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| гэх мэт.

Тэгэхээр энэ нэг дүр нь утга учиртай нэгж, үүнээс шаардлагатай тоог дараалан нэмэх замаар олж авна:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Нэгжийн системийн өөрчлөлт нь суурьтай систем бөгөөд үүнд зөвхөн нэгжийг тодорхойлох төдийгүй суурийн градусын тэмдэглэгээ байдаг. Жишээлбэл, хэрэв 5-ын тоог суурь болгон авсан бол 5, 25, 125 гэх мэт нэмэлт тэмдэгтүүд байх болно.

Ийм суурь 10 системийн жишээ бол МЭӨ III мянганы хоёрдугаар хагаст үүссэн эртний Египетийн систем юм. Энэ систем нь дараах иероглифтэй байв.

• туйл - нэгж,
• нуман - арав,
• далдуу модны навч - хэдэн зуун,
• бадамлянхуа цэцэг - мянга.

Тоонуудыг энгийн нэмэх замаар олж авсан бөгөөд дараалал нь дурын байж болно. Жишээлбэл, 3815 тоог тодорхойлохын тулд гурван бадамлянхуа цэцэг, найман далдуу модны навч, нэг нум, таван шон зурсан. Нэмэлт тэмдэг бүхий илүү төвөгтэй системүүд - хуучин Грек, Ром. Ромын нэг нь мөн байрлалын системийн элементийг ашигладаг - жижиг тоонуудын урд байгаа том тоог нэмж, том тоон дээрх жижиг тоог хасна: IV = 4, харин VI = 6, гэхдээ энэ аргыг нь зөвхөн 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 тоо болон тэдгээрийн деривативуудыг нэмэх замаар тэмдэглэхэд хэрэглэгддэг.

Орчин үеийн Грек, Оросын эртний системүүд цагаан толгойн 27 үсгийг тоо болгон ашигладаг байсан бөгөөд тэдгээр нь 1-ээс 9 хүртэлх тоо бүрийг, мөн арав, зуугаар илэрхийлдэг. Энэ арга нь 1-ээс 999 хүртэлх тоог давтахгүйгээр бичих боломжтой болгосон.

Хуучин Оросын системд тоонуудын эргэн тойронд тусгай жааз байрлуулж, олон тооны тоог заадаг байв.

Байршлын бус дугаарлалтын системийг үгээр дугаарлах систем болгон бараг хаа сайгүй ашигладаг хэвээр байна. Амаар тоолох систем нь хэлтэй нягт холбоотой байдаг бөгөөд тэдгээрийн нийтлэг элементүүд нь голчлон ерөнхий зарчим, олон тооны (триллион ба түүнээс дээш) нэртэй холбоотой байдаг. Орчин үеийн аман дугаарлалтын үндсэн зарчмууд нь өвөрмөц нэрсийн утгыг нэмэх, үржүүлэх замаар тэмдэглэгээг бий болгох явдал юм.

ТООНЫ СИСТЕМ

Ерөнхий мэдээлэл

Богино тойм. Үндсэн нэр томъёо, ойлголтууд

Тооны систем нь цифр гэж нэрлэгддэг тэмдэглэгээний цагаан толгойн үсгийг ашиглан дурын тоог илэрхийлэх арга юм.

Байрлалын бус, байрлалын гэсэн 2 төрөлд хуваагдах олон тооны системүүд байдаг.

Байршлын бус систем.Үүний жишээ бол Ромын тооны систем юм. Түүнд тэмдэг тус бүрийн утга нь тоон дээр хаана ч байсан хамаагүй тогтмол байдаг.

I, IX, XXI, LXI, XLII – өгөгдсөн бүх тоон дахь “I” тэмдэг нь нэг цифрийг кодлодог.

Байршлын системүүд.Жишээ нь Араб хэлний систем.Байрлалын системд цифр (тэмдэг) бүрийн утга нь энэ цифр (тэмдэг) бичигдсэн тооны газраас хамаарна. Үүнийг аравтын бутархайн системийн жишээн дээр ижил тооны хувиргалт хийж баталгаажуулцгаая.

5555=5000+500+50+5. Тэгэхээр 5-ын тоо нь 5000, 500, 50, 5-ыг илэрхийлдэг.

Аравтын бутархайн систем нь тоо бичихдээ 10 оронтой (тэмдэг) ашигладаг: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Системд ашигласан цифрүүдийн (тэмдэгтүүдийн) тоог түүний суурь гэж нэрлэдэг. , манай системд суурь нь 10 байдаг тул үүнийг аравтын тоо гэж нэрлэдэг. Аравтын бутархай хувиргалтыг дахин хийцгээе

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10 3 +6*10 2 +8*10 1 +5*10 0

Системийн суурь байгаа нэр томъёог ашиглан тоог бичиж болно гэдгийг бид харж байна. Энэ нь баруунаас зүүн тийш тоон дахь цифрүүдийн дарааллаас нэг бага зэрэглэлд өргөгдсөн.

Аравтын бутархай системээс гадна бусад тооны системүүд байдаг. Жишээлбэл, Орос улсад 1917 он хүртэл 12 оронтой тоо хэрэглэж байсан. "Арваад", "чөтгөрийн арав" гэсэн хэллэгүүд өнөөг хүртэл хадгалагдсаар байна. Энэ нь зарим орны мөнгөн тэмдэгтэд ашиглагдаж байна. Цаг дээр 12 тоо байна. Жилд 12 сар гэх мэт.

Төрөл бүрийн тооллын системийг ашиглах чадвар нь хадгалах хэрэгсэл (цаас, папирус) дээр олон янзын тэмдэглэгээг бичиж, тодорхой утгыг өгч чаддагт суурилдаг.

Компьютерийн технологид мэдээллийг бүртгэх арга

Одоогоор компьютертэй холбоотой мэдээллийг хадгалах өргөн боломж байхгүй. Компьютерийн технологид мэдээллийг бүртгэхийн тулд өөр өөр төхөөрөмжүүдийн хоёр тогтвортой төлөвийг ашигладаг.

Уян диск эсвэл хатуу дискэн дээр эдгээр соронзыг хойд эсвэл өмнөд туйл руу чиглүүлж, үндсэн соронзноос бүрдэх боломжтой. Диск дээрх цэг нь гэрлийг тусгах эсвэл тусгахгүй байж болно. Зузаан цаасаар хийсэн карт нь тодорхой байршилд нүхтэй эсвэл нүхгүй байж болно. Цахилгаан хэлхээ нь гүйдэл дамжуулж эсвэл дамжуулахгүй байж болно. Гэрэл асаалттай эсвэл асахгүй байж болно. Ийм нэг төлөвт 1, хоёр дахь нь 0 гэсэн утгыг өгч болно. Тиймээс нэг санах ойн элемент дээр 0 эсвэл 1-ийн аль нэгийг бичиж болно.

Ийм зөөвөрлөгч дээр бичиж болох хамгийн бага мэдээллийн хэмжээг гэж нэрлэдэг жаахан.

Түүхийн хувьд 8 хадгалах хэрэгслийг нэг санах ойд нэгтгэсэн бөгөөд тэдгээрт бичигдсэн мэдээллийн хэмжээг нэрлэжээ. байт.Тиймээс 1 байт = 8 бит.
Нэг байт дотор та 2 8 = 256 өөр хоёртын тоонуудын хослолыг бичиж болно, өөрөөр хэлбэл зөвхөн 0 ба 1 гэсэн хоёр цифрээс бүрдэх тоонууд: 00000000, 00000001, 00000010, 00000011. . . 11111110, 11111111.

Хэрэв та хэд хэдэн санах ойн нүдийг харвал тэдгээр нь олон тэг, нэгийг агуулна. Санах ойн эсийн хаягууд нь мөн хоёртын тоогоор илэрхийлэгддэг. Энэ төрлийн мэдээлэлтэй хүн ажиллахад хялбар болгох үүднээс 2-р тооны системийн дүрмийн дагуу ажиллахаар шийдсэн. Энэ системийн тоог хүмүүст илүү танил болсон, харааны систем болгон хувиргаж болно: 8 оронтой, 16 оронтой, 10 оронтой.

Хүснэгт 1.1.2

Аравтын систем	Хоёртын систем	Найман систем	Арван аравтын систем
			А
			Б
			C
			Д
			Э
			Ф

Хүснэгт 1.1.2-т ямар тэмдэгтүүдийг өөр өөр системд тоо болгон ашиглаж байгааг харуулав. Хэрэв сүүлчийн хүчинтэй тэмдэгт ашигласан бол хамгийн бага тоонд 0, хамгийн чухал тоонд 1-ийг бичнэ.

Тооллын систем дэх арифметик үйлдлүүд

Аравтын бутархай тооллын системд арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрэм бусад байрлалын тооллын системд мөн хадгалагдана.

Нэмэлт

Бид эхлээд нэгийг, дараа нь аравыг гэх мэтийг нэмнэ. Бид хамгийн өндөр зэрэглэлд хүрэх хүртэл. Үүний зэрэгцээ, аль ч оронтой тоонуудыг нэмэхэд үндсэн тооноос их нийлбэр гарч ирэхэд бид дараагийн цифр рүү шилжүүлэх ёстой гэдгийг үргэлж санаж байна.

Жишээлбэл, 173, 261 8

16, 35 8

Найман s.s.

Өгөгдөлтэй ажиллахад ашигладаг кодлох, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн өгөгдлийг өөр төрлийн өгөгдлөөр илэрхийлэх.

Компьютерийн технологи нь бас өөрийн гэсэн системтэй байдаг - үүнийг нэрлэдэг хоёртын кодчилолба өгөгдлийг 0 ба 1 гэсэн хоёр тэмдэгтийн дарааллаар дүрслэхэд үндэслэсэн. Эдгээр тэмдэгтүүдийг нэрлэнэ. хоёртын цифр,Англи хэлэнд - хоёртын цифрэсвэл товчхондоо бит (бит).

Нэг бит нь 0 эсвэл 1 гэсэн хоёр ойлголтыг илэрхийлж болно (Тиймэсвэл үгүй, харэсвэл цагаан, үнэнэсвэл худлаагэх мэт.). Хэрэв битийн тоог хоёр хүртэл нэмэгдүүлбэл дөрвөн өөр ойлголтыг илэрхийлж болно.

Гурван бит нь найман өөр утгыг кодлох боломжтой: 000 001 010 011 100 101 110 111

Хоёртын кодчилолын систем дэх битийн тоог нэгээр нэмэгдүүлснээр бид энэ системд илэрхийлж болох утгын тоог хоёр дахин нэмэгдүүлнэ, өөрөөр хэлбэл ерөнхий томъёо нь дараах байдалтай байна.

N=2 м,Хаана:

N-бие даасан кодлогдсон утгуудын тоо;

Т- энэ системд батлагдсан хоёртын кодчиллын битийн гүн.

Бит нь ийм жижиг хэмжлийн нэгж тул практикт илүү том нэгжийг ихэвчлэн ашигладаг - найман биттэй тэнцэх байт.

Илүү том өгөгдлийн нэгжүүдийг мөн ашигладаг:

Килобайт (KB) = 1024 байт = 2 10 байт;

Мегабайт (MB) = 1024 KB = 2 20 байт;

Гигабайт (ГБ) = 1024 МБ = 2 30 байт.

Сүүлийн үед боловсруулсан өгөгдлийн хэмжээ нэмэгдэж байгаатай холбоотойгоор дараахь төрлийн нэгжүүд гарч ирэв.

Терабайт (ТБ) = 1024 ГБ = 2 40 байт;

Петабайт (PB) = 1024 TB = 2 50 байт;

Эксабайт (Эбайт) = 1024 PB = 2 60 байт.

Текстийн мэдээллийг кодлох 0-ээс 127 хүртэлх тэмдэгтийн кодыг тогтоодог Америкийн мэдээлэл солилцох ASCII стандарт кодыг ашиглан үйлдвэрлэдэг. Үндэсний стандартууд нь тэмдэгт бүрт 1 байт мэдээлэл хуваарилдаг бөгөөд ASCII кодын хүснэгт, түүнчлэн 128-аас 255 хүртэлх тоо бүхий үндэсний цагаан толгойн кодуудыг агуулдаг. Одоогийн байдлаар KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh болон ISO гэсэн таван өөр кирилл кодчилол байдаг. 90-ээд оны сүүлээр олон улсын шинэ стандарт болох Юникод гарч ирсэн бөгөөд тэмдэгт бүрт нэг байт биш, харин хоёр байт хуваарилдаг тул үүнийг янз бүрийн тэмдэгтүүдийг кодлоход ашиглаж болно.

Үндсэн кодчилолын хүснэгт ASCIIхүснэгтэд өгөгдсөн.

Өнгөт график кодчилолцэг бүр өөрийн өнгөний дугаартай холбогдсон растер ашиглан хийгддэг. RGB кодчилолын системд цэг бүрийн өнгийг улаан (Улаан), ногоон (Ногоон), хөх (Цэнхэр) гэсэн нийлбэрээр илэрхийлдэг. CMYK кодчиллын системд цэг бүрийн өнгийг хөх (Цэнхэр), ягаан (Magenta), шар (Шар) болон хар (Хар, К) өнгөний нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Аналог дохионы кодчилол

Түүхийн хувьд өгөгдөл хүлээн авах, дамжуулах, хадгалах анхны технологийн хэлбэр нь аудио, оптик, цахилгаан эсвэл бусад дохионы аналог (тасралтгүй) дүрслэл байв. Ийм дохиог хүлээн авахын тулд компьютер эхлээд аналог-тоон хувиргалтыг гүйцэтгэдэг.

Аналог-тоон хувиргалт нь аналог дохиог тогтмол хугацааны интервалаар τ хэмжиж хэмжилтийн үр дүнг n-битийн хоёртын үг болгон кодлох явдал юм. Энэ тохиолдолд өгөгдсөн нарийвчлалтай аналог дохиог илэрхийлсэн n-битийн хоёртын үгсийн дарааллыг олж авна.

Одоогийн CD стандарт нь "44 кГц скан хурдтай 16 битийн аудио" гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашигладаг. Дээрх дүрсийг ердийн хэлээр орчуулбал энэ нь "алхамны урт" (t) нь 1/44000 сек, "алхамны өндөр" (δ) нь хамгийн их дохионы эзлэхүүний 1/65,536 (2-ээс хойш) гэсэн үг юм. 16 = 65,536). Энэ тохиолдолд тоглуулах давтамжийн хүрээ нь 0-22 кГц, динамик хүрээ нь 96 децибел (энэ нь соронзон эсвэл механик дуу бичлэгийн хувьд бүрэн боломжгүй чанарын шинж чанар юм).

Өгөгдлийн шахалт.

Боловсруулж, дамжуулж буй мэдээллийн хэмжээ хурдацтай нэмэгдэж байна. Энэ нь улам бүр нарийн төвөгтэй хэрэглээний процессуудыг хэрэгжүүлж, мэдээллийн шинэ үйлчилгээ бий болж, зураг, дуу авианы хэрэглээтэй холбоотой юм.

Өгөгдлийн шахалт- өгөгдлийн хэмжээг бууруулдаг процесс. Шахалт нь өгөгдлийг хадгалахад шаардагдах санах ойн хэмжээг эрс багасгаж, дамжуулахад шаардагдах хугацааг (зөвшөөрөгдөх хэмжээнд хүртэл) багасгах боломжийг олгодог. Зургийг шахах нь ялангуяа үр дүнтэй байдаг. Мэдээллийн шахалтыг програм хангамж, техник хангамж эсвэл хосолсон аргуудын аль нэгийг ашиглан хийж болно.

Текстийг шахах нь илүү нягт зохион байгуулалттай холбоотой юм байт,кодлох тэмдэгтүүд. Энэ нь мөн орон зайн давталтын тоолуурыг ашигладаг. Дуу болон дүрсийн хувьд тэдгээрийг илэрхийлэх мэдээллийн хэмжээ нь сонгосон квантчлалын алхам болон аналог-тоон хувиргалт дахь битийн тооноос хамаарна. Зарчмын хувьд текст боловсруулахтай ижил шахалтын аргуудыг энд ашигладаг. Хэрэв текстийн шахалт мэдээлэл алдалгүйгээр явагддаг бол аудио болон дүрсийг шахах нь бараг үргэлж мэдээлэл алдагдахад хүргэдэг. Мэдээлэл архивлахад шахалтыг өргөн ашигладаг.

Тэмдэглэгээ– тодорхой багц тэмдэгтээр тоог дүрслэх. Тоон систем нь:

1. Ганц (шошго эсвэл зөөгч систем);

2. Байршилгүй (Ром);

3. Байрлал (аравтын, хоёртын, наймтын, арван зургаатын тоот гэх мэт).

Байршилцифр бүрийн тоон утга нь тухайн тоон дахь байрнаас (байрлалаас) хамаардаг тооллын систем юм. СуурьБайршлын тооллын систем нь бүхэл тоо бөгөөд энэ нь систем дэх цифрүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Хоёртын тооллын систем нь 0 ба 1 гэсэн хоёр оронтой цагаан толгойг агуулдаг.

Найман тооллын систем нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 гэсэн 8 оронтой цагаан толгойн үсгийг агуулдаг.

Аравтын бутархай тооллын систем нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн 10 оронтой цагаан толгойн үсгийг агуулдаг.

Арван аравтын тооллын систем нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F гэсэн 16 цифрээс бүрдэх цагаан толгойн үсэгтэй.

			A B C D E F

Компьютерийн технологид кодчилолыг хоёртын тооллын системд ашигладаг, i.e. 0 ба 1-ийн дараалал.

Бүхэл тоог нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэхийн тулд та дараах алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.

1. Шинэ тооллын системийн үндсийг анхны тооллын системийн тоог ашиглан илэрхийл.

2. Өгөгдсөн тоог шинэ тооллын системийн сууринд хуваагчаас бага хуваагч гартал тууштай хуваа.

3. Үүссэн үлдэгдлийг шинэ тооллын системд шилжүүл.

4. Шинэ тооллын системийн үлдэгдлээс сүүлчийн үлдэгдэлээс эхлэн тоог зохио.

Ерөнхийдөө P суурьтай байрлалын SS-д дурын X тоог P суурийн олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

a i коэффициентүүд нь P суурьтай SS-д хэрэглэгддэг P цифрүүдийн аль нэг нь байж болно.

Тооны бүхэл ба бутархай хэсгүүдийн хувьд 10 SS-ээс бусад тоо руу хөрвүүлэх нь янз бүрийн аргыг ашиглан хийгддэг.

a) тоо ба завсрын коэффициентүүдийн бүхэл хэсгийг 10 SS-ээр илэрхийлсэн шинэ SS-ийн сууринд хувааж, хуваалтын коэффициент нь шинэ SS-ийн суурийн хэмжээнээс бага болтол хуваагдана. Үйлдлүүдийг 10 SS-д гүйцэтгэдэг. Үр дүн нь урвуу дарааллаар бичигдсэн коэффициентууд юм.

б) завсрын бүтээгдэхүүний тооны бутархай хэсэг болон үүссэн бутархай хэсгүүдийг заасан нарийвчлалд хүрэх хүртэл шинэ SS-ийн суурьтай үржүүлнэ, эсвэл завсрын бүтээгдэхүүний бутархай хэсэгт "0"-ийг авна. Үр дүн нь завсрын ажлын бүх хэсгүүдийг хүлээн авсан дарааллаар нь бүртгэсэн болно.

Томъёо (1) ашиглан та дурын тооны системээс тоог аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлж болно.

Жишээ 1. 1011101.001 тоог хоёртын тооллын системээс (SS) аравтын бутархай SS болгон хувирга. Шийдэл:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Жишээ 2. 1011101.001 тоог наймтын тооллын системээс (SS) аравтын бутархай SS болгон хөрвүүлнэ. Шийдэл:

Жишээ 3. AB572.CDF тоог аравтын тооллын системээс аравтын SS систем рүү хөрвүүл. Шийдэл:

Энд А-10-аар солигдсон, Б- 11 цагт, C- 12 цагт, Ф- 15 гэхэд.

8 (16) тоог 2 хэлбэрт хөрвүүлэх - энэ тооны цифр бүрийг харгалзах 3 бит (4 бит) хоёртын тоогоор солиход хангалттай. Өндөр, бага оронтой тоонд шаардлагагүй тэгүүдийг хая.

Жишээ 1: 305.4 8 тоог хоёртын SS болгон хөрвүүл.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Жишээ 2: 9AF,7 16 тоог хоёртын СС болгон хөрвүүл.

(_9 __ _А __ _Ф __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

2-р тоог 8 (16) SS болгон хөрвүүлэхийн тулд дараахь зүйлийг хийнэ үү: аравтын бутархайгаас зүүн ба баруун тийш шилжихдээ хоёртын тоог 3 (4) оронтой бүлэгт хувааж, шаардлагатай бол хамгийн зүүн ба баруун талын бүлгийг тэгээр нэмнэ. Дараа нь бүлэг бүрийг харгалзах наймтын (16) цифрээр солино.

Жишээ 1: 110100011110100111,1001101 2 тоог наймт SS болгон хөрвүүл.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Жишээ 2: 110100011110100111.1001101 2 тоог 16-лаат SS болгон хөрвүүл.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Арифметик үйлдлүүдбүх байрлалын тооллын системд тоонууд нь таны сайн мэддэг дүрмийн дагуу хийгддэг.

Нэмэлт.Хоёртын тооллын системд тоо нэмэх асуудлыг авч үзье. Энэ нь нэг оронтой хоёртын тоог нэмэх хүснэгтэд үндэслэсэн болно.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Хоёрыг нэмэхэд цифр нь хальж, хамгийн чухал цифр рүү шилждэг гэдгийг анхаарах нь чухал. Түүнд байгаа тооны утга суурьтай тэнцүү буюу түүнээс их болсон тохиолдолд оронтой тоон халилт үүсдэг.

Олон битийн хоёртын тоог нэмэх нь дээрх нэмэх хүснэгтийн дагуу бага эрэмбээс өндөр эрэмбийн цифр рүү шилжих боломжит шилжүүлгийг харгалзан хийгдэнэ. Жишээлбэл, 110 2 ба 11 2 хоёртын тоог баганад нэмье.

Хасах.Хоёртын тоонуудыг хасах аргыг авч үзье. Энэ нь нэг оронтой хоёртын тоог хасах хүснэгтэд үндэслэсэн болно. Бага тооноос (0) их тоог (1) хасах үед хамгийн өндөр оронтой тооноос зээл олгоно. Хүснэгтэнд зээлийг 1-р шугамаар тэмдэглэв.

Үржүүлэх.Үржүүлэх нь нэг оронтой хоёртын тоонуудын үржүүлэх хүснэгтэд суурилдаг.

Хэлтэс.Хуваах үйлдлийг аравтын бутархай тооллын системд хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх алгоритмтай төстэй алгоритм ашиглан гүйцэтгэнэ. Жишээлбэл, 110 2 хоёртын тоог 11 2-т хуваая.

Өөр өөр тооны системд илэрхийлэгдсэн тоон дээр арифметик үйлдлүүд хийхийн тулд эхлээд тэдгээрийг нэг системд хөрвүүлэх шаардлагатай.

Нэмэх ба хасах

Суурьтай системд 0, 1, 2, ..., c - 1 тоонууд нь тэг ба эхний c-1 натурал тоонуудыг тэмдэглэхэд ашиглагддаг.Нэмэх хасах үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд хүснэгтийг эмхэтгэсэн. нэг оронтой тоог нэмэх.

Хүснэгт 1 - Хоёртын систем дэх нэмэлт

Жишээлбэл, арван зургаатын тооллын систем дэх нэмэх хүснэгт:

Хүснэгт 2 - 16-тын систем дэх нэмэх

С суурьтай тооллын системд бичигдсэн дурын хоёр тоог аравтын бутархайн системтэй адил эхний цифрээс эхлэн цифрээр нэмэхдээ энэ системийн нэмэх хүснэгтийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Нэмэгдэж буй тоонууд нь нэг оронтой цифрүүд босоо байхаар ар араасаа тэмдэглэгдсэн байдаг. Нэмэлтийн үр дүнг нэмж байгаа тоонуудын доор зурсан хэвтээ шугамын доор бичнэ. Аравтын бутархайн системд тоог нэмэхтэй адил аль ч оронтой тоонд цифр нэмэхэд хоёр оронтой тоо гарах тохиолдолд энэ тооны сүүлийн цифрийг үр дүнд бичиж, эхний цифрийг нэмсэний үр дүнд нэмнэ. дараагийн цифр.

Жишээлбэл,

Та дараах хэлбэрээр тоонуудын дүрслэлийг ашиглан тоо нэмэх дүрмийг зөвтгөж болно.

Нэг жишээг харцгаая:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Бид нэр томъёог 7-р суурийн чадлын дагуу хамгийн бага, тэгээс эхлэн дараалан сонгоно.

Хасах үйлдлийг мөн хамгийн бага тооноос эхлэн цифрээр гүйцэтгэдэг бөгөөд хэрэв хасах цифрийн цифр нь хасах цифрээс бага байвал хасахын дараагийн цифр ба хасах цифрийн харгалзах цифрээс нэгжийг “авна”. гарсан хоёр оронтой тооноос хасагдсан; Дараагийн цифрийн цифрийг хасахдаа энэ тохиолдолд та багасаж буй цифрийг оюун санааны хувьд нэгээр багасгах хэрэгтэй, гэхдээ хэрэв энэ цифр тэг болж хувирвал (дараа нь үүнийг багасгах боломжгүй) та "зээл" авах хэрэгтэй. дараагийн цифр, дараа нь нэгээр бууруулна. Нэмэх хүснэгт нь хасах үр дүнг өгдөг тул хасалт хийх тусгай хүснэгт үүсгэх шаардлагагүй.

Жишээлбэл,

Үржүүлэх, хуваах

Үндсэн в системд үржүүлэх, хуваах үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд нэг оронтой тоог үржүүлэх хүснэгтийг эмхэтгэсэн.

Хүснэгт 3 - Нэг оронтой тоог үржүүлэх

Хүснэгт 4 - 16-тын тооллын систем дэх үржүүлэх

С суурьтай системд дурын хоёр тоог үржүүлэх нь аравтын бутархай системтэй ижил аргаар хийгддэг - "багана", өөрөөр хэлбэл үржүүлэгчийг үржүүлэгчийн цифр бүрийн цифрээр (дараалан) дараагийнхтай үржүүлнэ. эдгээр завсрын үр дүнг нэмэх.

Жишээлбэл,

Завсрын үр дүнд олон оронтой тоог үржүүлэхэд үндсэн индексийг байрлуулахгүй.

С суурьтай системд хуваагдлыг аравтын бутархай тооллын системтэй адил өнцгөөр гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд үржүүлэх хүснэгт болон холбогдох системийн нэмэх хүснэгтийг ашиглана. Хуваалтын үр дүн нь төгсгөлтэй бутархай (эсвэл бүхэл тоо) биш бол нөхцөл байдал илүү төвөгтэй болно. Дараа нь хуваах үйлдлийг гүйцэтгэхдээ ихэвчлэн фракцийн үечилсэн бус хэсэг болон түүний үеийг тусгаарлах шаардлагатай байдаг. c-ary тооллын системд хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх чадвар нь бутархай тоог нэг тооллын системээс нөгөө тооллын систем рүү хөрвүүлэхэд хэрэгтэй.

Жишээлбэл:

Тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэх

Тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэх олон янзын арга байдаг.

Хуваах арга

N=an an-1 тоог өгье. . . a1 a0 r.

h суурьтай систем дэх N тооны бичлэгийг олж авахын тулд үүнийг дараах хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй.

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

хаана 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

(1) -ээс бид дараахь зүйлийг авна.

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, 0 хаана байна? b0 ?h (3)

Өөрөөр хэлбэл, b0 тоо нь N тоог h тоонд хуваахад үлдсэн тоо юм. Хэсэгчилсэн коэффициент Nl = bmhm-1+ . . . +b1-ийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, 0 хаана байна? b2 ?h (4)

Ийнхүү N тооны бичилт дэх (2) bi цифр нь шинэ тооны системийн суурь h-д хуваагдсан эхний бүрэн бус хэсэг N1-ийн үлдэгдэл юм. Бид хоёр дахь бүрэн бус коэффициент N2-ийг дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ.

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, 0 хаана байна? b2 ?h (5)

өөрөөр хэлбэл b2 тоо нь N2 хоёр дахь бүрэн бус хэсгийг шинэ системийн суурь h-д хуваасны үлдэгдэл юм. Бүрэн бус категориуд буурдаг тул энэ процесс нь төгсгөлтэй байдаг. Тэгээд бид Nm = bm, энд bm авна

Нм-1 = бмх+бм.1 = Нмх+бм.1

Тиймээс тоонуудын дараалал нь bm, bm-1 байна. . h суурьтай тооллын системийн N тооны тэмдэглэгээний ,b1,b0 нь урвуу дарааллаар авсан N тоог h суурьтай дараалсан хуваалтын үлдэгдлийн дараалал юм.

Нэг жишээг харцгаая: 123 тоог 16-тын тооллын систем рүү хөрвүүлэх:

Тиймээс 12310=7(11)16 буюу 7В16 гэж бичиж болно.

340227 тоог квинарын тооллын системд бичье.

Тиймээс бид 340227=2333315 болно