ვიპოვოთ ფუნქციის ნულები. რა არის ფუნქციის ნულები და როგორ განვსაზღვროთ ისინი როგორ ვიპოვოთ წილადის ფუნქციის ნულები
რა არის ფუნქციის ნულები? პასუხი საკმაოდ მარტივია - ეს არის მათემატიკური ტერმინი, რაც ნიშნავს მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენს, რომელშიც მისი მნიშვნელობა არის ნული. ფუნქციას ნულებსაც უწოდებენ.ყველაზე მარტივი გზა იმის ასახსნელად, თუ რა არის ფუნქციები ნულები არის რამდენიმე მარტივი მაგალითი.
მაგალითები
განვიხილოთ მარტივი განტოლება y=x+3. ვინაიდან ფუნქციის ნული არის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც y-მა მიიღო ნულოვანი მნიშვნელობა, ჩვენ ვცვლით 0 განტოლების მარცხენა მხარეს:
ამ შემთხვევაში -3 არის სასურველი ნული. მოცემული ფუნქციისთვის განტოლების მხოლოდ ერთი ფესვია, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის.
მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:
მოდით ჩავანაცვლოთ 0 განტოლების მარცხენა მხარეს, როგორც წინა მაგალითში:
ცხადია, ამ შემთხვევაში იქნება ფუნქციის ორი ნული: x=3 და x=-3. თუ განტოლებას აქვს მესამე ხარისხის არგუმენტი, იქნებოდა სამი ნული. მარტივი დასკვნის გაკეთება შეიძლება, რომ მრავალწევრის ფესვების რაოდენობა შეესაბამება არგუმენტის მაქსიმალურ ხარისხს განტოლებაში. თუმცა, ბევრი ფუნქცია, მაგალითად y = x 3, ერთი შეხედვით ეწინააღმდეგება ამ განცხადებას. ლოგიკა და საღი აზრი გვკარნახობს, რომ ამ ფუნქციას აქვს მხოლოდ ერთი ნული - x=0 წერტილში. მაგრამ სინამდვილეში არსებობს სამი ფესვი, ისინი უბრალოდ ემთხვევა ერთმანეთს. თუ თქვენ ამოხსნით განტოლებას რთული ფორმით, ეს აშკარა ხდება. x=0 ამ შემთხვევაში ფესვი, რომლის სიმრავლე არის 3. წინა მაგალითში ნულები ერთმანეთს არ ემთხვეოდა, შესაბამისად მათ ჰქონდათ 1-ის სიმრავლე.
განსაზღვრის ალგორითმი
წარმოდგენილი მაგალითებიდან ხედავთ როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის ნულები. ალგორითმი ყოველთვის ერთი და იგივეა:
- დაწერეთ ფუნქცია.
- ჩაანაცვლეთ y ან f(x)=0.
- ამოხსენით მიღებული განტოლება.
ბოლო წერტილის სირთულე დამოკიდებულია განტოლების არგუმენტის ხარისხზე. მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნისას განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ განტოლების ფესვების რაოდენობა უდრის არგუმენტის მაქსიმალურ ხარისხს. ეს განსაკუთრებით ეხება ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს, სადაც ორივე მხარის დაყოფა სინუსზე ან კოსინუსზე იწვევს ფესვების დაკარგვას.
თვითნებური ხარისხის განტოლებები ყველაზე ადვილად ამოსახსნელია ჰორნერის მეთოდის გამოყენებით, რომელიც სპეციალურად შეიქმნა თვითნებური მრავალწევრის ნულების საპოვნელად.
ფუნქციების ნულების მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი, რეალური ან კომპლექსურ სიბრტყეში, სინგულარული ან მრავალჯერადი. ან შეიძლება არ იყოს ფესვები განტოლებაში. მაგალითად, ფუნქცია y=8 არ შეიძენს ნულოვან მნიშვნელობას ნებისმიერი x-ისთვის, რადგან ის არ არის დამოკიდებული ამ ცვლადზე.
განტოლებას y=x 2 -16 აქვს ორი ფესვი და ორივე დევს კომპლექსურ სიბრტყეში: x 1 =4i, x 2 =-4i.
გავრცელებული შეცდომები
სკოლის მოსწავლეების მიერ დაშვებული ჩვეულებრივი შეცდომა, რომლებსაც ჯერ კიდევ ბოლომდე არ ესმით, რა არის ფუნქციის ნულები, არის არგუმენტის (x) ჩანაცვლება ნულით და არა ფუნქციის (y) მნიშვნელობით. ისინი დამაჯერებლად ცვლიან x=0 განტოლებაში და ამის საფუძველზე პოულობენ y-ს. მაგრამ ეს არასწორი მიდგომაა.
კიდევ ერთი შეცდომა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არის ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში სინუსებით ან კოსინუსებით შემცირება, რის გამოც იკარგება ფუნქციის ერთი ან მეტი ნული. ეს არ ნიშნავს, რომ ასეთ განტოლებებში ვერაფერი შემცირდება, მაგრამ შემდგომი გამოთვლებისას აუცილებელია ამ „დაკარგული“ ფაქტორების გათვალისწინება.
გრაფიკული გამოსახულება
თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ რას ნიშნავს ფუნქციის ნულები მათემატიკური პროგრამების გამოყენებით, როგორიცაა Maple. შეგიძლიათ მასში ააგოთ გრაფიკი ქულების სასურველი რაოდენობის და სასურველი მასშტაბის მითითებით. ის წერტილები, რომლებზეც გრაფიკი კვეთს OX ღერძს, არის სასურველი ნულები. ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე სწრაფი გზა მრავალწევრის ფესვების მოსაძებნად, განსაკუთრებით თუ მისი რიგი მესამეზე მაღალია. ასე რომ, თუ საჭიროა მათემატიკური გამოთვლების რეგულარულად შესრულება, თვითნებური ხარისხის მრავალწევრების ფესვების პოვნა, გრაფიკების აგება, Maple ან მსგავსი პროგრამა უბრალოდ შეუცვლელი იქნება გამოთვლების განსახორციელებლად და შესამოწმებლად.
არგუმენტის მნიშვნელობები ზ რომელიც ვ(ზ) მიდის ნულამდე მოწოდებული. ნულოვანი წერტილი, ე.ი. თუ ვ(ა) = 0, მაშინ ა - ნულოვანი წერტილი.
დეფ.Წერტილი ადაურეკა ნულოვანი შეკვეთან
, თუ
FKP შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით ვ(ზ) = , სად 
ანალიტიკური ფუნქცია და 
0.
ამ შემთხვევაში, ტეილორის სერიის ფუნქციის გაფართოება (43), პირველი ნ კოეფიციენტები ნულის ტოლია
=
=
და ა.შ. დაადგინეთ ნულის რიგი 
და (1 – cos ზ) ზე ზ
=
0
=
=
ნულოვანი 1-ლი რიგი
1 – კოზ ზ
=
=
ნულოვანი მე-2 რიგი
დეფ.Წერტილი ზ
=
დაურეკა წერტილი უსასრულობაზედა ნულიფუნქციები ვ(ზ), თუ ვ(
) = 0. ასეთი ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სერიებად უარყოფითი ხარისხებით ზ
: ვ(ზ)
=
. თუ
პირველი ნ
კოეფიციენტები ნულის ტოლია, მაშინ მივდივართ ნულოვანი შეკვეთა ნ
უსასრულობის წერტილში: ვ(ზ)
= ზ
-
ნ
.
ცალკეული სინგულარული წერტილები იყოფა: ა) მოსახსნელი სინგულარული წერტილები; ბ) წესრიგის ბოძებინ; V) არსებითად ცალკეული წერტილები.
Წერტილი ადაურეკა მოსახსნელი სინგულარული წერტილიფუნქციები ვ(ზ) თუ ზე ზ 
ა
ლიმი ვ(ზ)
= თან -საბოლოო ნომერი .
Წერტილი ადაურეკა წესრიგის პოლუსინ
(ნ
1) ფუნქციები ვ(ზ), თუ შებრუნებული ფუნქცია 
=
1/
ვ(ზ) აქვს ნულოვანი რიგი ნწერტილში ა.ასეთი ფუნქცია ყოველთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვ(ზ)
=
, სად 
- ანალიტიკური ფუნქცია და 
.
Წერტილი ადაურეკა არსებითად განსაკუთრებული წერტილიფუნქციები ვ(ზ), თუ ზე ზ 
ა
ლიმი ვ(ზ) არ არსებობს.
ლორანის სერია
განვიხილოთ რგოლის კონვერგენციის რეგიონის შემთხვევა რ < | ზ 0 – ა| < რწერტილზე ორიენტირებული აფუნქციისთვის ვ(ზ). წარმოგიდგინოთ ორი ახალი წრე ლ 1 (რ) და ლ 2 (რ) წერტილით რგოლის საზღვრებთან ზ 0 მათ შორის. მოდით გავაკეთოთ რგოლის ჭრილი, დავაკავშიროთ წრეები ჭრილის კიდეების გასწვრივ, გადავიდეთ უბრალოდ დაკავშირებულ რეგიონზე და
ქოშის ინტეგრალური ფორმულა (39) ვიღებთ ორ ინტეგრალს z ცვლადზე
ვ(ზ 0)
=
+
,
(42)
სადაც ინტეგრაცია საპირისპირო მიმართულებით მიდის.
ინტეგრალური ზედ ლშესრულებულია 1 პირობა | ზ 0 – ა | > | ზ – ა |, და ინტეგრალური ზედ ლ 2 შებრუნებული მდგომარეობა | ზ 0 – ა | < | ზ – ა |. ამიტომ, ფაქტორი 1/( ზ – ზ 0) გაფართოვდეს სერიებად (a) ინტეგრალურ ზედ ლ 2 და სერიებში (b) ინტეგრალურ ზედ ლ 1 . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ გაფართოებას ვ(ზ) რგოლის არეში in ლორანის სერიადადებითი და უარყოფითი ძალებით ( ზ 0 – ა)
ვ(ზ 0)
=
ა ნ
(ზ 0 -ა) ნ
(43)
სად ა ნ
=
=
;ა -ნ
=
პოზიტიური ძალების გაფართოება (ზ 0 - ა) დაუძახა მარჯვენა ნაწილი Laurent სერია (ტეილორის სერია) და გაფართოება ნეგატიურ ძალებში ჰქვია. მთავარი ნაწილილორანის სერია.
თუ წრის შიგნით ლ 1 არ არის სინგულარული წერტილები და ფუნქცია ანალიტიკურია, მაშინ (44)-ში პირველი ინტეგრალი ტოლია ნულის კოშის თეორემით და მხოლოდ სწორი ნაწილი რჩება ფუნქციის გაფართოებაში. გაფართოებაში (45) უარყოფითი ძალა ჩნდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ანალიტიკურობა ირღვევა შიდა წრეში და ემსახურება ფუნქციის აღწერას იზოლირებულ სინგულურ წერტილებთან.
ლორანის სერიის (45) ასაგებად ვ(ზ) შეგიძლიათ გამოთვალოთ გაფართოების კოეფიციენტები ზოგადი ფორმულის გამოყენებით ან გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების გაფართოებები, რომლებიც შედის ვ(ზ).
ტერმინების რაოდენობა ( ნ) ლორანის სერიის ძირითადი ნაწილი დამოკიდებულია სინგულარული წერტილის ტიპზე: მოსახსნელი სინგულარული წერტილი
(ნ
=
0)
; არსებითად ცალკეული წერტილი
(ნ 
);
ბოძინ- ვაა შეკვეთა(ნ
-
საბოლოო ნომერი).
და ამისთვის ვ(ზ)
=
წერტილი ზ
= 0 მოსახსნელი სინგულარული წერტილი,რადგან ძირითადი ნაწილი არ არის. ვ(ზ)
=
(ზ
-
) = 1 -
ბ) ამისთვის ვ(ზ)
=
წერტილი ზ
= 0 -
1-ლი რიგის ბოძი
ვ(ზ)
=
(ზ
-
) =
-
გ) ამისთვის ვ(ზ) = ე 1 / ზწერტილი ზ = 0 - არსებითად ცალკეული წერტილი
ვ(ზ)
=
ე 1 /
ზ =
თუ ვ(ზ) არის ანალიტიკური დომენში დგარდა იმისა მიზოლირებული სინგულარული წერტილები 
და | ზ 1 |
< |ზ 2 |
< . . . < |ზ მ| , მაშინ ძალაუფლებაში ფუნქციის გაფართოებისას ზმთელი თვითმფრინავი იყოფა მ+ 1 ბეჭედი | ზ მე |
< | ზ
| < | ზ მე+ 1 | და Laurent სერიას აქვს განსხვავებული გარეგნობა თითოეული ბეჭდისთვის. ძალაუფლების გაფართოებისას ( ზ
–
ზ მე
) ლორანის სერიის კონვერგენციის რეგიონია წრე | ზ
–
ზ მე
| < რ, სად რ
- მანძილი უახლოეს ცალკეულ წერტილამდე.
და ა.შ. მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ვ(ზ)
=
Laurent-ის სერიაში ძალაუფლებაში ზდა ( ზ
-
1).
გამოსავალი. გამოვსახოთ ფუნქცია ფორმაში ვ(ზ)
= - ზ 2
. ჩვენ ვიყენებთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულას 
. წრეში |z|< 1 ряд сходится и ვ(ზ)
= - ზ 2
(1 + ზ
+ ზ 2
+ ზ 3
+ ზ 4
+ . . .) = - ზ 2
- ზ 3
- ზ 4 - . . . , ე.ი. დაშლა შეიცავს მხოლოდ სწორინაწილი. გადავიდეთ წრის გარე რეგიონში |z| > 1. გამოვსახოთ ფუნქცია ფორმაში 
, სადაც 1/| ზ|
< 1, и получим разложение ვ(ზ)
= ზ
=ზ
+ 1 +
იმიტომ რომ , ფუნქციის გაფართოება უფლებამოსილებაში ( ზ
-
1) ჰგავს ვ(ზ)
= (ზ
-
1) -1
+ 2 + (ზ
-
1) ყველასთვის 
1.
და ა.შ. გააფართოვეთ ფუნქცია Laurent სერიაში ვ(ზ)
=
:
ა) გრადუსით ზწრეში | ზ|
< 1; b)
по степеням ზ
ბეჭედი 1<
|ზ|
< 3 ; c)
по степеням (ზ
–
2).ხსნარი. დავშალოთ ფუნქცია მარტივ წილადებად
=
=
+
=
.
პირობებიდან ზ
=1
ა
= -1/2 , ზ
=3
ბ
= ½.
ა) ვ(ზ)
=
½ [ 
]
= ½ [ 
-(1/3)
], | ზ|<
1.
ბ) ვ(ზ)
= - ½ [ 
+
]
= -
(
), 1-ზე< |ზ|
< 3.
თან) ვ(ზ)
=
½ [ 
]= -
½
[ 
]
=
=
- ½
= -
, ერთად |2 - ზ|
< 1
ეს არის 1 რადიუსის წრე, რომლის ცენტრია ზ = 2 .
ზოგიერთ შემთხვევაში, სიმძლავრის სერია შეიძლება შემცირდეს გეომეტრიულ პროგრესირებამდე და ამის შემდეგ ადვილია მათი კონვერგენციის რეგიონის დადგენა.
და ა.შ. გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
.
. . +
+
+
+
1
+ ()
+ ()
2
+ ()
3
+ . . .
გამოსავალი. ეს არის ორი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი ქ 1
=
, ქ 2 = () . მათი დაახლოების პირობებიდან გამომდინარეობს 
< 1 ,
< 1 или |ზ|
> 1 , |ზ|
< 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо
1 < |ზ|
< 2 .
ფუნქციის მათემატიკური წარმოდგენა ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ განსაზღვრავს ერთი სიდიდე მეორე სიდიდის მნიშვნელობას. ტრადიციულად, ითვლება რიცხვითი ფუნქციები, რომლებიც ანიჭებენ ერთ რიცხვს მეორეს. ფუნქციის ნული, როგორც წესი, არის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება ნული.
ინსტრუქციები
1. ფუნქციის ნულების გამოსავლენად, თქვენ უნდა გააიგივოთ მისი მარჯვენა მხარე ნულთან და ამოხსნათ მიღებული განტოლება. წარმოვიდგინოთ, რომ გეძლევათ ფუნქცია f(x)=x-5.
2. ამ ფუნქციის ნულების საპოვნელად ავიღოთ და გავათანაბროთ მისი მარჯვენა მხარე ნულთან: x-5=0.
3. ამ განტოლების ამოხსნის შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ x=5 და არგუმენტის ეს მნიშვნელობა იქნება ფუნქციის ნული. ანუ, როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობა არის 5, ფუნქცია f(x) ხდება ნული.
ხედის ქვეშ ფუნქციებიმათემატიკაში გვესმის სიმრავლეების ელემენტებს შორის კავშირი. უფრო სწორად რომ ვთქვათ, ეს არის „კანონი“, რომლის მიხედვითაც ერთი სიმრავლის მთელი ელემენტი (ე.წ. განსაზღვრების დომენი) ასოცირდება სხვა სიმრავლის გარკვეულ ელემენტთან (რომელსაც მნიშვნელობების დომენი ეწოდება).
დაგჭირდებათ
- ალგებრის და მათემატიკური მიმოხილვის ცოდნა.
ინსტრუქციები
1. ღირებულებები ფუნქციებიეს არის გარკვეული სფერო, საიდანაც ფუნქციას შეუძლია მნიშვნელობების აღება. ვთქვათ მნიშვნელობების დიაპაზონი ფუნქციები f(x)=|x| 0-დან უსასრულობამდე. აღმოჩენის მიზნით მნიშვნელობა ფუნქციებიგარკვეულ მომენტში თქვენ უნდა შეცვალოთ არგუმენტი ფუნქციებიმისი რიცხვითი ეკვივალენტი, შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება მნიშვნელობამ ფუნქციები. მოდით ფუნქცია f(x)=|x| - 10 + 4x. მოდით გავარკვიოთ მნიშვნელობა ფუნქციები x=-2 წერტილში. ჩავანაცვლოთ x რიცხვით -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. ანუ მნიშვნელობა ფუნქციებიწერტილში -2 უდრის -16-ს.
Შენიშვნა!
სანამ ეძებთ ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში, დარწმუნდით, რომ ის ფუნქციის დომენშია.
სასარგებლო რჩევა
მსგავსი მეთოდი საშუალებას გაძლევთ აღმოაჩინოთ რამდენიმე არგუმენტის ფუნქციის მნიშვნელობა. განსხვავება ისაა, რომ ერთი რიცხვის ნაცვლად დაგჭირდებათ რამდენიმე ჩანაცვლება - ფუნქციის არგუმენტების რაოდენობის მიხედვით.
ფუნქცია წარმოადგენს დადგენილ კავშირს y ცვლადსა და x ცვლადს შორის. უფრო მეტიც, x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელსაც არგუმენტი ეწოდება, შეესაბამება y - ფუნქციის განსაკუთრებულ მნიშვნელობას. გრაფიკული ფორმით, ფუნქცია გამოსახულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაზე გრაფიკის სახით. გრაფიკის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს, რომლებზეც გამოსახულია x არგუმენტები, ფუნქციის ნულები ეწოდება. მისაღები ნულების პოვნა მოცემული ფუნქციის პოვნის ერთ-ერთი ამოცანაა. ამ შემთხვევაში, მხედველობაში მიიღება x დამოუკიდებელი ცვლადის ყველა დასაშვები მნიშვნელობა, რომელიც ქმნის ფუნქციის განსაზღვრის დომენს (DOF).
ინსტრუქციები
1. ფუნქციის ნული არის x არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია. თუმცა, მხოლოდ ის არგუმენტები, რომლებიც შესწავლილი ფუნქციის განსაზღვრის ფარგლებშია, შეიძლება იყოს ნული. ანუ, არსებობს უამრავი მნიშვნელობა, რისთვისაც ფუნქცია f(x) სასარგებლოა.
2. ჩაწერეთ მოცემული ფუნქცია და გაუტოლეთ ნულს, ვთქვათ f(x) = 2x?+5x+2 = 0. ამოხსენით მიღებული განტოლება და იპოვეთ მისი ნამდვილი ფესვები. კვადრატული განტოლების ფესვები გამოითვლება დისკრიმინანტის პოვნის მხარდაჭერით. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. ამრიგად, ამ შემთხვევაში მიიღება კვადრატული განტოლების ორი ფესვი, რომელიც შეესაბამება საწყისი ფუნქციის f(x) არგუმენტები.
3. შეამოწმეთ ყველა აღმოჩენილი x მნიშვნელობა მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენის კუთვნილების მიზნით. იპოვეთ OOF, ამისათვის შეამოწმეთ საწყისი გამოხატულება ფორმის ლუწი ფესვების არსებობისთვის?f (x), წილადების არსებობისთვის ფუნქციაში არგუმენტით მნიშვნელში, ლოგარითმული ან ტრიგონომეტრიული არსებობისთვის. გამონათქვამები.
4. ლუწი ხარისხის ფესვის ქვეშ გამოხატული ფუნქციის განხილვისას, აიღეთ ყველა არგუმენტი x, რომელთა მნიშვნელობები არ აქცევს რადიკალურ გამოსახულებას უარყოფით რიცხვად (პირიქით, ფუნქცია აკეთებს აზრი არ აქვს). შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქციის აღმოჩენილი ნულები მისაღები x მნიშვნელობების გარკვეულ დიაპაზონში.
5. წილადის მნიშვნელი ვერ მიდის ნულზე, ამიტომ გამორიცხეთ ის არგუმენტები x, რომლებიც ასეთ შედეგამდე მიგვიყვანს. ლოგარითმული სიდიდეებისთვის გათვალისწინებული უნდა იყოს არგუმენტის მხოლოდ ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც თავად გამოხატულება ნულზე მეტია. ფუნქციის ნულები, რომლებიც აქცევს სუბლოგარითმულ გამოსახულებას ნულში ან უარყოფით რიცხვად, უნდა განადგურდეს საბოლოო შედეგიდან.
Შენიშვნა!
განტოლების ფესვების პოვნისას შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები. ამის შემოწმება მარტივია: უბრალოდ ჩაანაცვლეთ არგუმენტის მიღებული მნიშვნელობა ფუნქციაში და დარწმუნდით, რომ ფუნქცია ნულზე გადადის.
სასარგებლო რჩევა
ზოგჯერ ფუნქცია არ არის გამოხატული აშკარად მისი არგუმენტის საშუალებით, მაშინ ადვილია იმის გაგება, თუ რა არის ეს ფუნქცია. ამის მაგალითია წრის განტოლება.
2. ვიპოვოთ ფუნქციის ნულები.
f(x) x-ზე 
.
უპასუხეთ f(x) x-ზე .
2) x 2 >-4x-5;
x 2 +4x +5>0;
დავუშვათ f(x)=x 2 +4x +5, შემდეგ ვიპოვოთ x, რომლისთვისაც f(x)>0,
D=-4 ნულები არ არის.
4. უტოლობათა სისტემები. უტოლობა და უტოლობათა სისტემები ორი ცვლადით
1) უტოლობათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არის მასში შემავალი უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეების კვეთა.
2) f(x;y)>0 უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე შეიძლება გრაფიკულად იყოს გამოსახული კოორდინატულ სიბრტყეზე. როგორც წესი, f(x;y) = 0 განტოლებით განსაზღვრული წრფე სიბრტყეს ყოფს 2 ნაწილად, რომელთაგან ერთი არის უტოლობის ამოხსნა. იმის დასადგენად, თუ რომელი ნაწილი, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ თვითნებური წერტილის კოორდინატები M(x0;y0), რომელიც არ დევს f(x;y)=0 წრფეზე უტოლობაში. თუ f(x0;y0) > 0, მაშინ უტოლობის ამონახსნი არის M0 წერტილის შემცველი სიბრტყის ნაწილი. თუ f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.
3) უტოლობათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არის მასში შემავალი უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეების კვეთა. მოდით, მაგალითად, მივცეთ უტოლობათა სისტემა:
.
პირველი უტოლობისთვის ამონახსნთა სიმრავლე არის წრე 2 რადიუსით და ცენტრით საწყისზე, ხოლო მეორესთვის ეს არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ 2x+3y=0. ამ სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არის ამ სიმრავლეთა კვეთა, ე.ი. ნახევარწრიული.
4) მაგალითი. ამოხსენით უტოლობების სისტემა:
1-ლი უტოლობის ამონახსნი არის სიმრავლე, მე-2 არის სიმრავლე (2;7) და მესამე არის სიმრავლე.
ამ სიმრავლეთა კვეთა არის ინტერვალი (2;3], რომელიც წარმოადგენს უტოლობათა სისტემის ამონახსნებს.
5. რაციონალური უტოლობების ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით
ინტერვალების მეთოდი ემყარება ბინომის (x-a) შემდეგ თვისებას: x = α წერტილი ყოფს რიცხვთა ღერძს ორ ნაწილად - α წერტილიდან მარჯვნივ ბინომი (x-α)>0, ხოლო α წერტილიდან მარცხნივ (x-α)<0.
დაე, საჭირო იყოს უტოლობის ამოხსნა (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, სადაც ფიქსირებულია α 1, α 2 ...α n-1, α n. რიცხვები, რომელთა შორის არ არის ტოლები და ისეთი, რომ α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 ინტერვალის მეთოდით მოქმედებენ შემდეგნაირად: რიცხვითი ღერძზე გამოსახულია α 1, α 2 ...α n-1, α n რიცხვები; მათგან ყველაზე დიდის მარჯვნივ, ე.ი. რიცხვები α n ჩადეთ პლუსის ნიშანი, მის შემდეგ შუალედში მარჯვნიდან მარცხნივ ჩადეთ მინუს ნიშანი, შემდეგ პლუს ნიშანი, შემდეგ მინუს ნიშანი და ა.შ. მაშინ უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 იქნება ყველა ინტერვალის გაერთიანება, რომელშიც მოთავსებულია პლუს ნიშანი და სიმრავლე უტოლობის ამონახსნები (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) რაციონალური უტოლობების ამოხსნა (ანუ ფორმის უტოლობები 
P(x) Q(x) სადაც არის მრავალწევრები) ემყარება უწყვეტი ფუნქციის შემდეგ თვისებას: თუ უწყვეტი ფუნქცია ქრება x1 და x2 წერტილებში (x1; x2) და არ აქვს სხვა ფესვები ამ წერტილებს შორის, მაშინ ინტერვალებით (x1; x2) ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს.
მაშასადამე, რიცხვით წრფეზე y=f(x) ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების საპოვნელად, მონიშნეთ ყველა ის წერტილი, რომლებზეც ფუნქცია f(x) ქრება ან განიცდის წყვეტას. ეს წერტილები რიცხვთა წრფეს ყოფენ რამდენიმე ინტერვალად, რომელთაგან თითოეულის შიგნით ფუნქცია f(x) უწყვეტია და არ ქრება, ე.ი. ინახავს ნიშანს. ამ ნიშნის დასადგენად საკმარისია ვიპოვოთ ფუნქციის ნიშანი რიცხვითი წრფის განხილული ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში.
2) რაციონალური ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების განსაზღვრა, ე.ი. რაციონალური უტოლობის ამოსახსნელად რიცხვთა წრფეზე აღვნიშნავთ მრიცხველის ფესვებს და მნიშვნელის ფესვებს, რომლებიც ასევე არის რაციონალური ფუნქციის ფესვები და წყვეტის წერტილები.
უტოლობების ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით
3. 
< 20.
გამოსავალი. მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება უტოლობების სისტემით:
f(x) = ფუნქციისთვის – 20. იპოვე f(x):
საიდანაც x = 29 და x = 13.
f(30) = – 20 = 0.3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.
პასუხი:. რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. 1) უმარტივესი: ამოხსნილია ჩვეულებრივი გამარტივებით - საერთო მნიშვნელამდე შემცირება, მსგავსი ტერმინების შემცირება და ა.შ. კვადრატული განტოლებები ax2 + bx + c = 0 ამოხსნილია...
X იცვლება ინტერვალზე (0,1] და მცირდება ინტერვალზე)