არითმეტიკული მოქმედებები რიცხვებით პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში. არითმეტიკული მოქმედებები სხვადასხვა რიცხვთა სისტემებში ორობითი მოქმედებები რიცხვებზე რიცხვთა სისტემაში

არითმეტიკული მოქმედებები პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში

არითმეტიკული მოქმედებები ყველა პოზიციური რიცხვების სისტემაში შესრულებულია თქვენთვის კარგად ცნობილი წესების მიხედვით.

დამატება.მოდით განვიხილოთ რიცხვების დამატება ბინარული რიცხვების სისტემაში. იგი ეფუძნება ცხრილს ერთნიშნა ორობითი რიცხვების დასამატებლად:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

მნიშვნელოვანია ყურადღება მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ორი ერთეულის დამატებისას, ციფრი გადაედინება და გადადის ყველაზე მნიშვნელოვან ციფრზე. ციფრის გადადინება ხდება მაშინ, როდესაც მასში არსებული რიცხვის მნიშვნელობა ხდება ბაზის ტოლი ან მეტი.

მრავალბიტიანი ორობითი რიცხვების დამატება ხდება ზემოაღნიშნული შეკრების ცხრილის შესაბამისად, დაბალი რიგის ციფრებზე შესაძლო გადატანის გათვალისწინებით. მაგალითად, მოდით დავამატოთ ორობითი რიცხვები 110 2 და 11 2 სვეტში:

მოდით შევამოწმოთ გამოთვლების სისწორე ათობითი რიცხვების სისტემაში მიმატებით. მოდით გადავიყვანოთ ორობითი რიცხვები ათობითი რიცხვების სისტემაში და შემდეგ დავამატოთ ისინი:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

ახლა მოდით გადავიტანოთ ორობითი მიმატების შედეგი ათობითი რიცხვად:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

შევადაროთ შედეგები - დამატება სწორად შესრულდა.

გამოკლება.მოდით შევხედოთ ორობითი რიცხვების გამოკლებას. იგი ეფუძნება ცხრილს ერთნიშნა ორობითი რიცხვების გამოკლებისთვის. უფრო დიდი რიცხვის (1) გამოკლებისას პატარა რიცხვს (0), სესხი იღება უმაღლესი ციფრიდან. ცხრილში სესხი მითითებულია 1 ხაზით:

გამრავლება.გამრავლება ეფუძნება გამრავლების ცხრილს ერთნიშნა ორობითი რიცხვებისთვის:

განყოფილება.გაყოფის ოპერაცია ხორციელდება ათობითი რიცხვების სისტემაში გაყოფის ოპერაციის შესრულების ალგორითმის მსგავსი ალგორითმის გამოყენებით. მაგალითად, მოდით გავყოთ ბინარული რიცხვი 110 2 11 2-ზე:

არითმეტიკული მოქმედებების განსახორციელებლად ციფრებზე, რომლებიც გამოხატულია სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, აუცილებელია პირველ რიგში მათი გადაყვანა ერთსა და იმავე სისტემაში.

Დავალებები

1.22. 1010 2 და 10 2 ორობითი რიცხვების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა და ელექტრონული კალკულატორის გამოყენებით შეამოწმეთ არითმეტიკული მოქმედებების სისწორე.

1.23. დაამატეთ რვა რიცხვები: 5 8 და 4 8, 17 8 და 41 8.

1.24. გამოვაკლოთ თექვსმეტობითი რიცხვები: F 16 და A 16, 41 16 და 17 16.

1.25. დაამატეთ ნომრები: 17 8 და 17 16, 41 8 და 41 16

Შენიშვნა:
თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები მხოლოდ ერთ რიცხვთა სისტემაში; თუ თქვენ მოგეცემათ სხვადასხვა რიცხვითი სისტემა, ჯერ გადააკეთეთ ყველა რიცხვი ერთ რიცხვთა სისტემაში.
თუ თქვენ მუშაობთ რიცხვთა სისტემასთან, რომლის საფუძველი 10-ზე მეტია და თქვენს მაგალითში გაქვთ ასო, გონებრივად შეცვალეთ იგი რიცხვით ათობითი სისტემაში, განახორციელეთ საჭირო ოპერაციები და დააბრუნეთ შედეგი თავდაპირველ რიცხვთა სისტემაში.

დამატება:
ყველას ახსოვს, დაწყებით სკოლაში როგორ გვასწავლიდნენ სვეტში, ადგილი-ადგილის დამატებას. თუ ციფრის შეკრებისას მიიღეს 9-ზე მეტი რიცხვი, გამოვაკლებთ მას 10-ს, შედეგად მიღებული შედეგი ჩაწერილი იყო პასუხში და 1 დაემატა შემდეგ ციფრს. აქედან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი:

უფრო მოსახერხებელია "სვეტში" დაკეცვა
ადგილის მიხედვით შეკრება, თუ ადგილზე > ციფრი აღემატება მოცემული რიცხვითი სისტემის ანბანის უდიდეს ციფრს, ამ რიცხვს გამოვაკლებთ რიცხვითი სისტემის ფუძეს.
ჩვენ ვწერთ შედეგს საჭირო კატეგორიაში
დაამატეთ ერთი მომდევნო ციფრზე

მაგალითი:

დაამატეთ 1001001110 და 100111101 ბინარულ რიცხვთა სისტემაში

1001001110

100111101

1110001011

პასუხი: 1110001011

დაამატეთ F3B და 5A თექვსმეტობითი აღნიშვნით

FE0

პასუხი: FE0

გამოკლება: ყველას ახსოვს, როგორ გვასწავლიდნენ დაწყებით სკოლაში სვეტების მიხედვით გამოკლებას ადგილის ღირებულებიდან ადგილის ღირებულებიდან. თუ ციფრში გამოკლებისას მიიღეს 0-ზე ნაკლები რიცხვი, მაშინ უმაღლესი ციფრიდან ერთი „სესესხეთ“ და სასურველ ციფრს 10 დავუმატეთ, ახალ რიცხვს კი გამოვაკლებთ საჭირო. აქედან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი:

უფრო მოსახერხებელია გამოკლება "სვეტში"
გამოკლება ადგილის მიმართულებით, თუ ციფრი ადგილზეა< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
ვასრულებთ გამოკლებას

მაგალითი:

გამოვაკლოთ რიცხვი 100111101 1001001110 ორობითი რიცხვების სისტემაში

1001001110

100111101

100010001

პასუხი: 100010001

გამოვაკლოთ 5A F3B-ს თექვსმეტობითი აღნიშვნით

D96

პასუხი: D96

რაც მთავარია, არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენს განკარგულებაშია მხოლოდ მოცემული რიცხვითი სისტემის ნომრები და ასევე არ დაივიწყოთ გადასვლები ციფრულ ტერმინებს შორის.
გამრავლება:

სხვა რიცხვების სისტემებში გამრავლება ხდება ზუსტად ისე, როგორც ჩვენ შევეჩვიეთ გამრავლებას.

უფრო მოსახერხებელია "სვეტში" გამრავლება
ნებისმიერ რიცხვთა სისტემაში გამრავლება იგივე წესებს ემორჩილება, როგორც ათობითი სისტემაში. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მხოლოდ რიცხვითი სისტემის მიერ მოცემული ანბანი

მაგალითი:

გაამრავლეთ 10111 1101-ზე ბინარული რიცხვების სისტემაში

10111

1101

10111

100101011

პასუხი: 100101011

გაამრავლეთ F3B რიცხვით A თექვსმეტობითი აღნიშვნით

F3B

984E

პასუხი: 984E

რაც მთავარია, არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენს განკარგულებაშია მხოლოდ მოცემული რიცხვითი სისტემის ნომრები და ასევე არ დაივიწყოთ გადასვლები ციფრულ ტერმინებს შორის.

განყოფილება:

სხვა რიცხვების სისტემებში გაყოფა ხდება ზუსტად ისე, როგორც ჩვენ შევეჩვიეთ გაყოფას.

უფრო მოსახერხებელია "სვეტში" გაყოფა
ნებისმიერ რიცხვთა სისტემაში გაყოფა მიჰყვება იგივე წესებს, როგორც ათობითი სისტემაში. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მხოლოდ რიცხვითი სისტემის მიერ მოცემული ანბანი

მაგალითი:

1011011 გაყავით 1101-ზე ბინარულ რიცხვთა სისტემაში

გაყოფა F 3 B 8 ნომრისთვის თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში

არაპოზიციური

არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები

არაპოზიციური რიცხვების სისტემები ისტორიულად პირველად გამოჩნდა. ამ სისტემებში, თითოეული ციფრული სიმბოლოს მნიშვნელობა მუდმივია და არ არის დამოკიდებული მის პოზიციაზე. არაპოზიციური სისტემის უმარტივესი შემთხვევაა ერთეული სისტემა, რომლისთვისაც რიცხვების აღსანიშნავად გამოიყენება ერთი სიმბოლო, ჩვეულებრივ, ზოლი, ზოგჯერ წერტილი, რომელთაგან ყოველთვის იდება მითითებული რიცხვის შესაბამისი რაოდენობა:

1 - |
2 - ||
3 - ||| და ა.შ.

ასე რომ, ამ ერთ პერსონაჟს აქვს მნიშვნელობა ერთეულები, საიდანაც საჭირო რიცხვი მიიღება თანმიმდევრული მიმატებით:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

ერთეული სისტემის მოდიფიკაცია არის სისტემა ფუძით, რომელშიც არის სიმბოლოები არა მხოლოდ ერთეულის აღსანიშნავად, არამედ ბაზის ხარისხებისთვისაც. მაგალითად, თუ რიცხვი 5 მიიღება საფუძვლად, მაშინ იქნება დამატებითი სიმბოლოები 5, 25, 125 და ა.შ.

ასეთი ბაზის 10 სისტემის მაგალითია ძველი ეგვიპტური, რომელიც წარმოიშვა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III ათასწლეულის მეორე ნახევარში. ამ სისტემას ჰქონდა შემდეგი იეროგლიფები:

ბოძი - ერთეული,
რკალი - ათეული,
პალმის ფოთოლი - ასობით,
ლოტოსის ყვავილი - ათასობით.

რიცხვები მიიღება მარტივი შეკრებით; თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ასე რომ, მაგალითად, 3815 ნომრის დასანიშნად, დახატეს სამი ლოტოსის ყვავილი, რვა პალმის ფოთოლი, ერთი რკალი და ხუთი ძელი. უფრო რთული სისტემები დამატებითი ნიშნებით - ძველი ბერძნული, რომაული. რომაული ასევე იყენებს პოზიციური სისტემის ელემენტს - უფრო დიდი რიცხვი ემატება პატარას წინ, აკლდება უფრო დიდის წინ: IV = 4, მაგრამ VI = 6, ეს მეთოდი, თუმცა, გამოიყენება ექსკლუზიურად რიცხვების 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 და მათი წარმოებულების აღსანიშნავად.

თანამედროვე ბერძნული და ძველი რუსული სისტემები რიცხვებად იყენებდნენ ანბანის 27 ასოს, სადაც ისინი აღნიშნავდნენ თითოეულ რიცხვს 1-დან 9-მდე, ასევე ათეულებსა და ასეულებს. ამ მიდგომამ შესაძლებელი გახადა რიცხვების დაწერა 1-დან 999-მდე რიცხვების გამეორების გარეშე.

ძველ რუსულ სისტემაში ნომრების ირგვლივ სპეციალური ჩარჩოები გამოიყენებოდა დიდი რიცხვების აღსანიშნავად.

არაპოზიციური ნუმერაციის სისტემა დღესაც გამოიყენება თითქმის ყველგან, როგორც ვერბალური ნუმერაციის სისტემა. ვერბალური ნუმერაციის სისტემები მჭიდროდ არის დაკავშირებული ენასთან და მათი საერთო ელემენტები ძირითადად დაკავშირებულია დიდი რიცხვების ზოგად პრინციპებთან და სახელებთან (ტრილიონი და ზემოთ). ზოგადი პრინციპები, რომლებიც საფუძვლად უდევს თანამედროვე სიტყვიერ ნუმერაციას, გულისხმობს აღნიშვნების ფორმირებას უნიკალური სახელების მნიშვნელობების დამატებისა და გამრავლების გზით.

რიცხვითი სისტემები

Ზოგადი ინფორმაცია

მოკლე მიმოხილვა. ძირითადი ტერმინები და ცნებები

რიცხვითი სისტემა არის ნებისმიერი რიცხვის წარმოდგენის გზა სიმბოლოების ანბანის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება ციფრები.

არსებობს მრავალი რიცხვითი სისტემა, რომლებიც შეიძლება დაიყოს 2 ტიპად: არაპოზიციური და პოზიციური.

არაპოზიციური სისტემა.ამის მაგალითია რომაული რიცხვითი სისტემა. მასში თითოეული სიმბოლოს მნიშვნელობა მუდმივია, არ აქვს მნიშვნელობა სად არის სიმბოლო რიცხვში.

I, IX, XXI, LXI, XLII - სიმბოლო "I" ყველა მოცემულ რიცხვში კოდირებს ციფრს ერთს.

პოზიციური სისტემები.ამის მაგალითია არაბული სისტემა, პოზიციურ სისტემაში თითოეული ციფრის (სიმბოლოს) მნიშვნელობა დამოკიდებულია რიცხვის ადგილს, სადაც ეს ციფრი (სიმბოლო) იწერება. მოდით გადავამოწმოთ ეს ჩვენ მიერ მიღებული ათობითი სისტემის მაგალითის გამოყენებით, იდენტური რიცხვების გარდაქმნების შესრულებით.

5555=5000+500+50+5. ასე რომ, რიცხვი 5 არის 5000, 500, 50 და 5.

ათობითი სისტემა იყენებს 10 ციფრს (სიმბოლოებს) რიცხვების დასაწერად: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. სისტემაში გამოყენებული ციფრების (სიმბოლოების) რაოდენობას ეწოდება მისი ფუძე, ამიტომ ჩვენს სისტემაში ფუძე არის 10, რის გამოც მას უწოდებენ ათობითი. მოდით კვლავ გავაკეთოთ ათობითი კონვერტაცია

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10 3 +6*10 2 +8*10 1 +5*10 0

ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ტერმინების გამოყენებით, რომლებშიც არსებობს სისტემის საფუძველი. ის იზრდება ხარისხზე ერთით ნაკლები, ვიდრე ციფრის რიგითობა რიცხვში მარჯვნიდან მარცხნივ.

ათობითი სისტემის გარდა, არსებობს სხვა რიცხვების სისტემაც. მაგალითად, 12-ნიშნა რუსეთში 1917 წლამდე გამოიყენებოდა. გამოთქმები "ათეული" და "ეშმაკის ათეული" დღემდე შემორჩენილია. ის ჯერ კიდევ გამოიყენება ზოგიერთი ქვეყნის ვალუტაში. საათზე 12 ნომერია. წელიწადში 12 თვე და ა.შ.

სხვადასხვა რიცხვითი სისტემების გამოყენების შესაძლებლობა ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ მრავალი განსხვავებული სიმბოლო შეიძლება დაიწეროს შესანახ საშუალებებზე (ქაღალდი, პაპირუსი) და მიეცეს გარკვეული კონკრეტული მნიშვნელობა.

ინფორმაციის ჩაწერის მეთოდები კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში

ამჟამად არ არსებობს ფართო შესაძლებლობები კომპიუტერთან დაკავშირებულ საცავ მედიაზე ინფორმაციის ჩაწერისთვის. კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში ინფორმაციის ჩასაწერად გამოიყენება სხვადასხვა მოწყობილობების ორი სტაბილური მდგომარეობა.

ფლოპი დისკზე ან მყარ დისკზე, რომელიც შეიძლება წარმოვიდგინოთ, რომ შედგება ელემენტარული მაგნიტების ნაკრებისგან, ეს მაგნიტები შეიძლება გადატრიალდეს ჩრდილოეთით ან სამხრეთ პოლუსებით სუბსტრატისკენ. დისკზე წერტილი შეიძლება ასახავდეს ან არ ასახავდეს სინათლეს. სქელი ქაღალდისგან დამზადებულ ბარათს შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ხვრელი გარკვეულ ადგილას. ელექტრული წრე შეიძლება ან არ ატარებდეს დენს. შუქი შეიძლება იყოს ან არ იყოს. ერთ ასეთ მდგომარეობას შეიძლება მიენიჭოს მნიშვნელობა 1, მეორეს 0. ამრიგად, მეხსიერების ერთ ელემენტზე შეიძლება ჩაიწეროს ან 0 ან 1.

ინფორმაციის ამ მინიმალურ რაოდენობას, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს ასეთ მედიაზე, ეწოდება ცოტა.

ისტორიულად, 8 შესანახი მედია გაერთიანდა მეხსიერების ერთ უჯრედში და მათში ჩაწერილი ინფორმაციის რაოდენობა ე.წ. ბაიტი.ამგვარად 1 ბაიტი = 8 ბიტი.
ბაიტში შეგიძლიათ დაწეროთ 2 8 = 256 ორობითი რიცხვების სხვადასხვა კომბინაცია, ანუ რიცხვები, რომლებიც შედგება მხოლოდ ორი ციფრისგან 0 და 1: 00000000, 00000001, 00000010, 00000011. . . 11111110, 11111111.

თუ გადავხედავთ მეხსიერების რამდენიმე უჯრედს, ისინი შეიცავს ბევრ ნულს და ერთს. მეხსიერების უჯრედების მისამართები ასევე წარმოდგენილია ბინარულად. იმისთვის, რომ ადამიანს გაუადვილდეს ამ სახის ინფორმაციასთან მუშაობა, გადავწყვიტეთ მასთან მუშაობა მე-2 ნომრის სისტემის წესებით. ამ სისტემის ნომრები შეიძლება გარდაიქმნას ადამიანებისთვის უფრო ნაცნობ და ვიზუალურ სისტემებად: 8-ნიშნა, 16-ციფრიანი, 10-ციფრიანი.

ცხრილი 1.1.2

ათობითი სისტემა	ორობითი სისტემა	ოქტალური სისტემა	თექვსმეტობითი სისტემა










			ა
			ბ
			C
			დ
			ე
			ფ

ცხრილი 1.1.2 გვიჩვენებს, თუ რომელი სიმბოლოები გამოიყენება რიცხვებად სხვადასხვა სისტემაში. თუ გამოყენებულია ბოლო მოქმედი სიმბოლო, მაშინ 0 იწერება ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრით, ხოლო 1 ყველაზე მნიშვნელოვანი.

არითმეტიკული მოქმედებები რიცხვთა სისტემებში

ათობითი რიცხვების სისტემაში არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების წესები დაცულია სხვა პოზიციური რიცხვითი სისტემებისთვისაც.

დამატება

ჯერ ერთებს ვამატებთ, შემდეგ ათეულებს და ა.შ. სანამ არ მივაღწევთ უმაღლეს წოდებას. ამავდროულად, ყოველთვის გვახსოვს, რომ როდესაც რომელიმე ციფრში რიცხვების შეკრებისას მიიღება ფუძეზე მეტი ჯამი, მაშინ ის უნდა გადავიტანოთ შემდეგ ციფრზე.

მაგალითად 173, 261 8

16, 35 8

ოქტალური ს.ს.

გამოიყენება მონაცემებთან მუშაობისთვის კოდირება, ე.ი. ერთი ტიპის მონაცემების გამოხატვა სხვა ტიპის მონაცემებით.

კომპიუტერულ ტექნოლოგიას ასევე აქვს საკუთარი სისტემა - მას ე.წ ბინარული კოდირებადა ეფუძნება მონაცემების მხოლოდ ორი სიმბოლოს თანმიმდევრობის წარმოდგენას: 0 და 1. ამ სიმბოლოებს ე.წ. ორობითი ციფრები,ინგლისურად - ორობითი ციფრიან მოკლედ, ბიტი (ბიტი).

ერთ ბიტს შეუძლია გამოხატოს ორი ცნება: 0 ან 1 (დიახან არა, შავიან თეთრი, მართალიაან ტყუილიდა ასე შემდეგ.). თუ ბიტების რაოდენობა ორამდე გაიზარდა, მაშინ ოთხი განსხვავებული ცნება შეიძლება გამოისახოს:

სამ ბიტს შეუძლია რვა განსხვავებული მნიშვნელობის დაშიფვრა: 000 001 010 011 100 101 110 111

ბინარული კოდირების სისტემაში ბიტების რაოდენობის ერთით გაზრდით, ჩვენ გავაორმაგებთ მნიშვნელობების რაოდენობას, რომლებიც შეიძლება გამოისახოს ამ სისტემაში, ანუ ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:

N=2 მ,სად:

N-დამოუკიდებელი კოდირებული მნიშვნელობების რაოდენობა;

თ- ამ სისტემაში მიღებული ორობითი კოდირების ბიტის სიღრმე.

ვინაიდან ბიტი არის ასეთი მცირე საზომი ერთეული, პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება უფრო დიდი ერთეული - ბაიტი, რვა ბიტის ტოლი.

უფრო დიდი მიღებული მონაცემების ერთეულებიც გამოიყენება:

კილობაიტი (KB) = 1024 ბაიტი = 2 10 ბაიტი;

მეგაბაიტი (MB) = 1024 კბ = 2 20 ბაიტი;

გიგაბაიტი (GB) = 1024 მბ = 2 30 ბაიტი.

ბოლო დროს, დამუშავებული მონაცემების მოცულობის ზრდის გამო, მიღებული იქნა ისეთი ერთეულები, როგორიცაა:

ტერაბაიტი (TB) = 1024 GB = 2 40 ბაიტი;

პეტაბაიტი (PB) = 1024 ტბ = 2 50 ბაიტი;

ეგზაბაიტი (Ebyte) = 1024 PB = 2 60 ბაიტი.

ტექსტური ინფორმაციის კოდირებაიწარმოება ამერიკული სტანდარტული კოდის გამოყენებით ინფორმაციის გაცვლისთვის ASCII, რომელიც ადგენს სიმბოლოების კოდებს 0-დან 127-მდე. ეროვნული სტანდარტები გამოყოფს 1 ბაიტ ინფორმაციას თითო სიმბოლოზე და მოიცავს ASCII კოდების ცხრილს, ასევე ეროვნულ ანბანურ კოდებს 128-დან 255-მდე ნომრებით. ამჟამად არსებობს ხუთი განსხვავებული კირილიცის კოდირება: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh და ISO. 90-იანი წლების ბოლოს გამოჩნდა ახალი საერთაშორისო სტანდარტი Unicode, რომელიც გამოყოფს არა ერთ ბაიტს, არამედ ორ ბაიტს თითოეული სიმბოლოსთვის და, შესაბამისად, მისი გამოყენება შესაძლებელია არა, არამედ სხვადასხვა სიმბოლოების კოდირებისთვის.

ძირითადი კოდირების ცხრილი ASCIIმოცემულია ცხრილში.

ფერადი გრაფიკის კოდირებაკეთდება რასტერის გამოყენებით, სადაც თითოეული წერტილი ასოცირდება მის ფერთა რიცხვთან. RGB კოდირების სისტემაში თითოეული წერტილის ფერი წარმოდგენილია წითელი (წითელი), მწვანე (მწვანე) და ლურჯი (ლურჯი) ჯამით. CMYK კოდირების სისტემაში, თითოეული წერტილის ფერი წარმოდგენილია ციანი (ციანი), მაგენტა (ფუსნისფერი), ყვითელი (ყვითელი) და შავის (შავი, K) დამატებით.

ანალოგური სიგნალის კოდირება

ისტორიულად, მონაცემთა მიღების, გადაცემის და შენახვის პირველი ტექნოლოგიური ფორმა იყო აუდიო, ოპტიკური, ელექტრული ან სხვა სიგნალის ანალოგური (უწყვეტი) წარმოდგენა. ასეთი სიგნალების მისაღებად კომპიუტერი ჯერ ანალოგურ ციფრულ გადაქცევას ახორციელებს.

ანალოგური ციფრული გადაქცევა გულისხმობს ანალოგური სიგნალის გაზომვას რეგულარულ დროში τ და გაზომვის შედეგის დაშიფვრას n-ბიტიან ორობით სიტყვაში. ამ შემთხვევაში, მიიღება n-bit ორობითი სიტყვების თანმიმდევრობა, რომელიც წარმოადგენს ანალოგურ სიგნალს მოცემული სიზუსტით.

ამჟამინდელი CD სტანდარტი იყენებს იმას, რასაც ეწოდება "16-ბიტიანი აუდიო სკანირების სიხშირით 44 kHz". ზემოაღნიშნული ფიგურისთვის, რომელიც თარგმნილია ნორმალურ ენაზე, ეს ნიშნავს, რომ „საფეხურის სიგრძე“ (t) უდრის 1/44000 წმ-ს, ხოლო „ნაბიჯი სიმაღლე“ (δ) არის სიგნალის მაქსიმალური მოცულობის 1/65,536 (2-დან 16 = 65,536) . ამ შემთხვევაში დაკვრის სიხშირის დიაპაზონი არის 0-22 kHz, ხოლო დინამიური დიაპაზონი 96 დეციბელი (რაც ხარისხის მახასიათებელი სრულიად მიუწვდომელია მაგნიტური ან მექანიკური ხმის ჩაწერისთვის).

მონაცემთა შეკუმშვა.

დამუშავებული და გადაცემული მონაცემების მოცულობა სწრაფად იზრდება. ეს განპირობებულია აპლიკაციის უფრო რთული პროცესების განხორციელებით, ახალი საინფორმაციო სერვისების გაჩენით და სურათებისა და ხმის გამოყენებით.

მონაცემთა შეკუმშვა- პროცესი, რომელიც ამცირებს მონაცემთა მოცულობას. შეკუმშვა საშუალებას გაძლევთ მკვეთრად შეამციროთ მეხსიერების რაოდენობა, რომელიც საჭიროა მონაცემთა შესანახად და შეამციროთ (მისაღები ზომამდე) დრო, რომელიც სჭირდება მის გადაცემას. განსაკუთრებით ეფექტურია გამოსახულების შეკუმშვა. მონაცემთა შეკუმშვა შეიძლება განხორციელდეს პროგრამული უზრუნველყოფის ან აპარატურის ან მეთოდების კომბინაციის გამოყენებით.

ტექსტების შეკუმშვა ასოცირდება უფრო კომპაქტურ განლაგებასთან ბაიტები,სიმბოლოების კოდირება. ეს ასევე იყენებს სივრცის გამეორების მრიცხველს. რაც შეეხება ხმასა და გამოსახულებებს, მათი წარმომადგენლობითი ინფორმაციის რაოდენობა დამოკიდებულია არჩეულ კვანტიზაციის საფეხურზე და ანალოგური ციფრულში გადაყვანის ბიტების რაოდენობაზე. პრინციპში, აქ გამოიყენება იგივე შეკუმშვის მეთოდები, რაც ტექსტის დამუშავებისას. თუ ტექსტის შეკუმშვა ხდება ინფორმაციის დაკარგვის გარეშე, მაშინ აუდიო და გამოსახულების შეკუმშვა თითქმის ყოველთვის იწვევს ინფორმაციის გარკვეულ დაკარგვას. შეკუმშვა ფართოდ გამოიყენება მონაცემთა არქივში.

აღნიშვნა- რიცხვის წარმოდგენა სიმბოლოების კონკრეტული ნაკრებით. რიცხვითი სისტემებია:

1. სინგლი (ტეგის ან ჯოხის სისტემა);

2. არაპოზიციური (რომაული);

3. პოზიციური (ათწილადი, ორობითი, რვადი, თექვსმეტობითი და ა.შ.).

პოზიციურიარის რიცხვითი სისტემა, რომელშიც თითოეული ციფრის რაოდენობრივი მნიშვნელობა დამოკიდებულია მის ადგილს (პოზიციაზე) რიცხვში. საფუძველიპოზიციური რიცხვების სისტემა არის მთელი რიცხვი, რომელიც შეიძლება გაიზარდოს სიმძლავრემდე და უდრის სისტემის ციფრების რაოდენობას.

ბინარული რიცხვების სისტემა მოიცავს ორნიშნა ანბანს: 0 და 1.

რვა რიცხვების სისტემა მოიცავს 8 ციფრის ანბანს: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 და 7.

ათობითი რიცხვების სისტემა მოიცავს 10 ციფრის ანბანს: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 და 9.

თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემა მოიცავს 16 ციფრის ანბანს: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


			A B C D E F

კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში კოდირება გამოიყენება ორობითი რიცხვების სისტემაში, ე.ი. 0 და 1 თანმიმდევრობა.

მთელი რიცხვის ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადასაყვანად, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ალგორითმი:

1. გამოთქვით ახალი რიცხვითი სისტემის საფუძველი საწყისი რიცხვითი სისტემის რიცხვების გამოყენებით.

2. თანმიმდევრულად გაყავით მოცემული რიცხვი ახალი რიცხვითი სისტემის ფუძეზე, სანამ არ მიიღებთ გამყოფზე ნაკლები კოეფიციენტს.

3. მიღებული ნაშთები გადააქციეთ ახალ რიცხვთა სისტემაში.

4. შეადგინეთ რიცხვი ნაშთებიდან ახალ რიცხვთა სისტემაში, ბოლო ნაშთით დაწყებული.

ზოგადად, პოზიციურ SS-ში P ფუძით, ნებისმიერი X რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც პოლინომი P ფუძიდან:

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m,

სადაც a i კოეფიციენტები შეიძლება იყოს SS-ში გამოყენებული ნებისმიერი P ციფრი P ფუძით.

რიცხვების 10 SS-დან ნებისმიერ სხვაზე გადაქცევა რიცხვის მთელი და წილადი ნაწილებისთვის ხორციელდება სხვადასხვა მეთოდით:

ა) რიცხვის მთელი ნაწილი და შუალედური კოეფიციენტები იყოფა ახალი SS-ის ფუძით, გამოხატული 10 SS-ში, სანამ გაყოფის კოეფიციენტი არ გახდება ნაკლები ახალი SS-ის ფუძეზე. მოქმედებები შესრულებულია 10 SS-ში. შედეგი არის კოეფიციენტები, რომლებიც იწერება საპირისპირო თანმიმდევრობით.

ბ) რიცხვის წილადი ნაწილი და შუალედური პროდუქციის შედეგად მიღებული წილადი ნაწილები მრავლდება ახალი SS-ის ფუძეზე მითითებული სიზუსტის მიღწევამდე, ან შუალედური ნამრავლის წილად ნაწილში მიიღება „0“. შედეგი არის შუალედური სამუშაოების მთელი ნაწილები, რომლებიც ჩაწერილია მათი მიღების თანმიმდევრობით.

ფორმულის (1) გამოყენებით შეგიძლიათ გადაიყვანოთ რიცხვები ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათობითი რიცხვების სისტემაში.

მაგალითი 1.გადაიყვანეთ რიცხვი 1011101.001 ბინარული რიცხვების სისტემიდან (SS) ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

მაგალითი 2.გადაიყვანეთ რიცხვი 1011101.001 რვა რიცხვების სისტემიდან (SS) ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

მაგალითი 3. გადაიყვანეთ რიცხვი AB572.CDF თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემიდან ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

Აქ ა- შეიცვალა 10-ით, ბ- 11 საათზე C- 12 საათზე ფ- 15-მდე.

8 (16) რიცხვის 2 ფორმად გადაქცევა - საკმარისია ამ რიცხვის თითოეული ციფრი შეცვალოს შესაბამისი 3-ბიტიანი (4-ბიტიანი) ორობითი რიცხვით. გააუქმეთ არასაჭირო ნულები მაღალ და დაბალ ციფრებში.

მაგალითი 1: გადაიყვანეთ რიცხვი 305.4 8 ორობით SS-ად.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

მაგალითი 2: გადაიყვანეთ რიცხვი 9AF,7 16 ბინარულ СС-ად.

(_9 __ _ა __ _ფ __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

მე-2 რიცხვის 8 (16) SS-ად გადასაყვანად გააგრძელეთ შემდეგნაირად: ათწილადის წერტილიდან მარცხნივ და მარჯვნივ გადაადგილება, ორობითი რიცხვი დაყავით 3 (4) ციფრიან ჯგუფებად, საჭიროების შემთხვევაში შეავსეთ ყველაზე მარცხენა და მარჯვენა ჯგუფები ნულებით. შემდეგ თითოეული ჯგუფი შეიცვლება შესაბამისი რვატული (16) ციფრით.

მაგალითი 1: გადააკეთეთ ნომერი 110100011110100111,1001101 2 რვადიან SS-ად.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

მაგალითი 2: გადააქციეთ რიცხვი 110100011110100111.1001101 2 თექვსმეტობით SS-ად.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

არითმეტიკული მოქმედებებიყველა პოზიციური რიცხვების სისტემაში ნომრები შესრულებულია იმავე წესების მიხედვით, რომლებიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

შეკრება და გამოკლება

ფუძის მქონე სისტემაში ნულის და პირველი c-1 ნატურალური რიცხვების აღსანიშნავად გამოიყენება რიცხვები 0, 1, 2, ..., c - 1, შეკრება-გამოკლების მოქმედების შესასრულებლად დგება ცხრილი. ერთნიშნა რიცხვების დამატება.

ცხრილი 1 - დამატება ბინარულ სისტემაში

მაგალითად, დამატების ცხრილი თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში:

ცხრილი 2 - დამატება თექვსმეტობით სისტემაში

რიცხვთა სისტემაში c ფუძით დაწერილი ნებისმიერი ორი რიცხვის შეკრება ხორციელდება ისე, როგორც ათობითი სისტემაში, ციფრებით, პირველი ციფრიდან დაწყებული, ამ სისტემის შეკრების ცხრილის გამოყენებით. დამატებული რიცხვები ხელმოწერილია ერთმანეთის მიყოლებით ისე, რომ იგივე ციფრების ციფრები ვერტიკალური იყოს. მიმატების შედეგი იწერება ჰორიზონტალური ხაზის ქვეშ, რომელიც შედგენილია დამატებული რიცხვების ქვემოთ. ისევე, როგორც ათწილადის სისტემაში რიცხვების შეკრებისას, იმ შემთხვევაში, როდესაც რომელიმე ციფრში ციფრების მიმატება იძლევა ორნიშნა რიცხვს, ამ რიცხვის ბოლო ციფრი იწერება შედეგად, ხოლო პირველი ციფრი ემატება მიმატების შედეგს. შემდეგი ციფრი.

Მაგალითად,

თქვენ შეგიძლიათ დაასაბუთოთ რიცხვების დამატების მითითებული წესი რიცხვების წარმოდგენის სახით:

მოდით შევხედოთ ერთ მაგალითს:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

თანმიმდევრულად ვირჩევთ ტერმინებს მე-7 ბაზის სიმძლავრის მიხედვით, დაწყებული ყველაზე დაბალი, ნულიდან, სიმძლავრით.

გამოკლება ასევე ხდება ციფრებით, დაწყებული ყველაზე დაბალიდან და თუ მინუენდის ციფრი ნაკლებია ქვეტრაჰენდის ციფრზე, მაშინ ერთეული „მიიღება“ მინუენდის შემდეგი ციფრიდან და ქვეტრაენდის შესაბამისი ციფრიდან. გამოკლებულია მიღებულ ორნიშნა რიცხვს; შემდეგი ციფრის ციფრების გამოკლებისას, ამ შემთხვევაში თქვენ გონებრივად უნდა შეამციროთ ერთით შემცირებული ციფრი, მაგრამ თუ ეს ციფრი ნულის ტოლია (და შემდეგ მისი შემცირება შეუძლებელია), მაშინ ერთი უნდა „ისესხოთ“ შემდეგი ციფრი და შემდეგ შეამცირეთ ერთით. არ არის საჭირო გამოკლებისთვის სპეციალური ცხრილის შექმნა, რადგან შეკრების ცხრილი იძლევა გამოკლების შედეგებს.

Მაგალითად,

გამრავლება და გაყოფა

საბაზისო c სისტემაში გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებების შესასრულებლად შედგენილია ერთნიშნა რიცხვების გამრავლების ცხრილი.

ცხრილი 3 - ერთნიშნა რიცხვების გამრავლება

ცხრილი 4 - გამრავლება თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში

ორი თვითნებური რიცხვის გამრავლება სისტემაში c საფუძვლით, ხორციელდება ისე, როგორც ათობითი სისტემაში - „სვეტი“, ანუ ნამრავლი მრავლდება მულტიპლიკატორის თითოეული ციფრის ციფრით (თანმიმდევრობით) შემდგომში. ამ შუალედური შედეგების დამატება.

Მაგალითად,

შუალედურ შედეგებში მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლებისას საბაზისო ინდექსი არ იდება:

c ფუძის მქონე სისტემებში გაყოფა ხორციელდება კუთხით, ისევე როგორც ათობითი რიცხვების სისტემაში. ამ შემთხვევაში გამოიყენება შესაბამისი სისტემის გამრავლების ცხრილი და მიმატების ცხრილი. სიტუაცია უფრო რთულია, თუ გაყოფის შედეგი არ არის სასრული წილადი (ან მთელი რიცხვი). შემდეგ, გაყოფის ოპერაციის შესრულებისას, როგორც წესი, საჭიროა წილადის არაპერიოდული ნაწილისა და მისი პერიოდის იზოლირება. c-ary რიცხვების სისტემაში გაყოფის მოქმედების შესაძლებლობა სასარგებლოა წილადი რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადაყვანისას.

Მაგალითად:

რიცხვების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე

რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადაყვანის მრავალი განსხვავებული გზა არსებობს.

გაყოფის მეთოდი

მივცეთ რიცხვი N=an an-1. . . a1 a0 r.

h ფუძის მქონე სისტემაში N რიცხვის ჩანაწერის მისაღებად, ის უნდა იყოს წარმოდგენილი სახით:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

სადაც 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

(1)-დან ვიღებთ:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, სად არის 0? b0 ?h (3)

ანუ რიცხვი b0 არის N რიცხვის h რიცხვზე გაყოფის ნაშთი. ნაწილობრივი კოეფიციენტი Nl = bmhm-1+. . . +b1 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, სად არის 0? b2 ?h (4)

ამრიგად, N რიცხვის ჩანაწერში (2) bi ციფრი არის პირველი არასრული კოეფიციენტის N1 გაყოფის ნაშთი ახალი რიცხვითი სისტემის h ფუძეზე. ჩვენ წარმოვადგენთ მეორე არასრულ კოეფიციენტს N2 სახით:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, სად არის 0? b2 ?h (5)

ანუ რიცხვი b2 არის მეორე არასრული კოეფიციენტის N2 გაყოფის ნაშთი ახალი სისტემის h ფუძეზე. ვინაიდან არასრული კოეფიციენტები მცირდება, ეს პროცესი სასრულია. და შემდეგ მივიღებთ Nm = bm, სადაც bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

ამრიგად, რიცხვების თანმიმდევრობა არის bm, bm-1. . ,b1,b0 რიცხვის N რიცხვის აღნიშვნაში რიცხვთა სისტემაში h ფუძით არის N რიცხვის თანმიმდევრული გაყოფის ნაშთების თანმიმდევრობა h ფუძით, აღებული საპირისპირო თანმიმდევრობით.

მოდით შევხედოთ მაგალითს: გადააქციეთ რიცხვი 123 თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში:

ამრიგად, რიცხვი 12310=7(11)16 ან შეიძლება დაიწეროს როგორც 7B16

ჩავწეროთ რიცხვი 340227 კვინარული რიცხვების სისტემაში:

ამრიგად, მივიღებთ, რომ 340227=2333315