Aritmetičke operacije u položajnim brojevnim sustavima

Aritmetičke operacije u svim položajnim brojevnim sustavima izvode se prema istim pravilima koja su vam dobro poznata.

Dodatak. Razmotrimo zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu. Temelji se na tablici za zbrajanje jednoznamenkastih binarnih brojeva:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Važno je obratiti pozornost na to da kod zbrajanja dviju jedinica dolazi do prelijevanja znamenke i prelaska na najznačajniju znamenku. Do prekoračenja znamenki dolazi kada vrijednost broja u njemu postane jednaka ili veća od baze.

Zbrajanje višebitnih binarnih brojeva događa se u skladu s gornjom tablicom zbrajanja, uzimajući u obzir moguće prijenose s nižih na više znamenke. Kao primjer, dodajmo binarne brojeve 110 2 i 11 2 u stupac:

Provjerimo ispravnost izračuna zbrajanjem u decimalni brojevni sustav. Pretvorimo binarne brojeve u decimalni brojevni sustav i zatim ih zbrojimo:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Sada pretvorimo rezultat binarnog zbrajanja u decimalni broj:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Usporedimo rezultate - zbrajanje je izvedeno ispravno.

Oduzimanje. Pogledajmo oduzimanje binarnih brojeva. Temelji se na tablici za oduzimanje jednoznamenkastih binarnih brojeva. Pri oduzimanju većeg broja (1) od manjeg broja (0) posuđuje se od najviše znamenke. U tablici je zajam označen linijom 1.

Množenje. Množenje se temelji na tablici množenja za jednoznamenkaste binarne brojeve:

Podjela. Operacija dijeljenja izvodi se algoritmom sličnim algoritmu za izvođenje operacije dijeljenja u dekadskom brojevnom sustavu. Kao primjer, podijelimo binarni broj 110 2 s 11 2:

Za izvođenje aritmetičkih operacija s brojevima izraženima u različitim brojevnim sustavima potrebno ih je prvo pretvoriti u isti sustav.

Zadaci

1.22. Zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti binarne brojeve 1010 2 i 10 2 te provjeriti ispravnost računskih operacija pomoću elektroničkog kalkulatora.

1.23. Zbrojite oktalne brojeve: 5 8 i 4 8, 17 8 i 41 8.

1.24. Oduzmite heksadecimalne brojeve: F 16 i A 16, 41 16 i 17 16.

1.25. Zbrojite brojeve: 17 8 i 17 16, 41 8 i 41 16

Bilješka:
Radnje možete izvoditi samo u jednom brojevnom sustavu; ako su vam zadani različiti brojevni sustavi, prvo pretvorite sve brojeve u jedan brojevni sustav
Ako radite s brojevnim sustavom čija je baza veća od 10 i imate slovo u svom primjeru, mentalno ga zamijenite brojem u decimalnom sustavu, izvršite potrebne operacije i rezultat pretvorite natrag u originalni brojevni sustav

Dodatak:
Svi se sjećaju kako su nas u osnovnoj školi učili zbrajati u stupcu, mjesto po mjesto. Ako smo zbrajanjem znamenke dobili broj veći od 9, od njega smo oduzimali 10, dobiveni rezultat upisivali u odgovor, a 1 dodavali sljedećoj znamenki. Iz ovoga možemo formulirati pravilo:

1. Pogodnije je presavijati u "stupac"
2. Zbrajajući mjesto po mjesto, ako je znamenka na mjestu > veća od najveće znamenke abecede određenog brojevnog sustava, od tog broja oduzimamo bazu brojevnog sustava.
3. Rezultat upisujemo u traženu kategoriju
4. Dodajte jedan sljedećoj znamenki

Primjer:

Zbrojite 1001001110 i 100111101 u binarnom brojevnom sustavu

1001001110

100111101

1110001011

Odgovor: 1110001011

Dodajte F3B i 5A u heksadecimalnom zapisu

FE0

Odgovor: FE0

Oduzimanje: Svi se sjećaju kako su nas u osnovnoj školi učili oduzimati po stupcima, mjesnu vrijednost od mjesne vrijednosti. Ako se pri oduzimanju u znamenki dobio broj manji od 0, tada smo od najviše znamenke “posudili” jedan i željenoj znamenki dodali 10, a od novog broja oduzeli traženi. Iz ovoga možemo formulirati pravilo:

1. Pogodnije je oduzimati u "stupcu"
2. Oduzimanje po mjestu ako je znamenka na mjestu< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Izvodimo oduzimanje

Primjer:

Oduzmite broj 100111101 od 1001001110 u binarnom brojevnom sustavu

1001001110

100111101

100010001

Odgovor: 100010001

Oduzmite 5A od F3B u heksadecimalnom zapisu

D96

Odgovor: D96

Ono što je najvažnije, ne zaboravite da su vam na raspolaganju samo brojevi određenog brojevnog sustava, a također ne zaboravite na prijelaze između pojmova znamenki.
Množenje:

Množenje u drugim brojevnim sustavima događa se na potpuno isti način na koji smo navikli množiti.

1. Pogodnije je množiti u "stupcu"
2. Množenje u bilo kojem brojevnom sustavu slijedi ista pravila kao i u decimalnom sustavu. Ali možemo koristiti samo abecedu zadanu brojevnim sustavom

Primjer:

Pomnožite 10111 sa 1101 u binarnom brojevnom sustavu

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Odgovor: 100101011

Pomnožite F3B s brojem A u heksadecimalnom zapisu

F3B

984E

Odgovor: 984E

Odgovor: 984E

Ono što je najvažnije, ne zaboravite da su vam na raspolaganju samo brojevi određenog brojevnog sustava, a također ne zaboravite na prijelaze između pojmova znamenki.

Podjela:

Dijeljenje u drugim brojevnim sustavima događa se na potpuno isti način na koji smo navikli dijeliti.

1. Pogodnije je podijeliti u "stupac"
2. Dijeljenje u bilo kojem brojevnom sustavu slijedi ista pravila kao u decimalnom sustavu. Ali možemo koristiti samo abecedu zadanu brojevnim sustavom

Primjer:

Podijelite 1011011 sa 1101 u binarnom brojevnom sustavu

Podijeliti F 3 B za broj 8 u heksadekadskom brojevnom sustavu

Ono što je najvažnije, ne zaboravite da su vam na raspolaganju samo brojevi određenog brojevnog sustava, a također ne zaboravite na prijelaze između pojmova znamenki.

NEPOZICIJSKI

Nepozicijski brojevni sustavi

Povijesno su se prvi pojavili nepozicijski brojčani sustavi. U tim je sustavima značenje svakog digitalnog znaka konstantno i ne ovisi o njegovom položaju. Najjednostavniji slučaj nepozicijskog sustava je sustav jedinica, za koji se za označavanje brojeva koristi jedan simbol, obično crta, ponekad točka, od kojih se uvijek nalazi količina koja odgovara označenom broju:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, itd.

Dakle, ovaj jedan znak ima značenje jedinice, iz kojeg se uzastopnim zbrajanjem dobiva traženi broj:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Modifikacija sustava jedinica je sustav s bazom, u kojem postoje simboli ne samo za označavanje jedinice, već i za stupnjeve baze. Na primjer, ako se broj 5 uzme kao osnova, tada će postojati dodatni simboli koji označavaju 5, 25, 125 i tako dalje.

Primjer takvog sustava s bazom 10 je staroegipatski, koji je nastao u drugoj polovici trećeg tisućljeća pr. Ovaj sustav je imao sljedeće hijeroglife:

• polne jedinice,
• luk - desetice,
• palmin list - stotine,
• lotosov cvijet - tisuće.

Brojevi su dobiveni jednostavnim zbrajanjem, redoslijed je mogao biti bilo koji. Dakle, za označavanje, na primjer, broja 3815, nacrtana su tri lotosova cvijeta, osam palminih listova, jedan luk i pet stupova. Složeniji sustavi s dodatnim znakovima - stari grčki, rimski. Rimski također koristi element položajnog sustava - dodaje se veći broj ispred manjeg, manji se oduzima ispred većeg: IV = 4, ali VI = 6, ova metoda, međutim, koristi se isključivo za označavanje brojeva 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000 i njihovih izvedenica zbrajanjem.

Moderni grčki i staroruski sustavi koristili su 27 slova abecede kao brojeve, gdje su označavali svaki broj od 1 do 9, kao i desetice i stotine. Ovaj pristup omogućio je pisanje brojeva od 1 do 999 bez ponavljanja brojeva.

U starom ruskom sustavu za označavanje velikih brojeva korišteni su posebni okviri oko brojeva.

Nepozicijski brojevni sustav još uvijek se gotovo posvuda koristi kao verbalni sustav numeriranja. Verbalni sustavi numeriranja snažno su vezani za jezik, a njihovi zajednički elementi uglavnom se odnose na opća načela i nazive velikih brojeva (bilijun i više). Opća načela na kojima se temelji suvremeno verbalno numeriranje uključuju oblikovanje oznaka zbrajanjem i množenjem značenja jedinstvenih imena.

BROJEVNI SUSTAVI

Opće informacije

Kratki osvrt. Osnovni pojmovi i pojmovi

Brojevni sustav je način predstavljanja bilo kojeg broja pomoću abecede simbola koji se nazivaju znamenke.

Postoje mnogi sustavi brojeva koji se mogu podijeliti u 2 vrste: nepozicijski i pozicijski.

Nepozicijski sustav. Primjer je sustav rimskih brojeva. U njemu je značenje svakog simbola konstantno, bez obzira gdje se simbol nalazi u broju.

I, IX, XXI, LXI, XLII – simbol “I” u svim navedenim brojevima kodira znamenku jedan.

Pozicijski sustavi. Primjer je arapski sustav.U pozicionom sustavu značenje svake znamenke (simbola) ovisi o mjestu u broju na kojem je ta znamenka (simbol) zapisana. Provjerimo to na primjeru iz decimalnog sustava koji smo usvojili, izvodeći identične transformacije brojeva.

5555=5000+500+50+5. Dakle, broj 5 označava 5000, 500, 50 i 5.

Dekadni sustav koristi 10 znamenki (simbola) za pisanje brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Broj znamenki (simbola) koji se koristi u sustavu naziva se njegova baza, stoga , u našem sustavu Baza je 10, zbog čega se zove decimalna. Napravimo opet decimalnu konverziju

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10 3 +6*10 2 +8*10 1 +5*10 0

Vidimo da se broj može napisati pomoću izraza u kojima je prisutna baza sustava. Podiže se na potenciju za jedan manju od reda znamenki u broju s desna na lijevo.

Osim decimalnog sustava postoje i neki drugi brojevni sustavi. Na primjer, 12-znamenkasti se koristio u Rusiji do 1917. Još uvijek su sačuvani izrazi “tucet” i “đavolji tucet”. Još uvijek se koristi u valutama nekih zemalja. Na satu je 12 brojeva. 12 mjeseci godišnje itd.

Mogućnost korištenja različitih brojevnih sustava temelji se na činjenici da se na medij za pohranjivanje podataka (papir, papirus) može napisati mnogo različitih simbola i dati im određeno značenje.

Metode snimanja informacija u računalnoj tehnologiji

Na medijima za pohranu koji su povezani s računalnom tehnologijom trenutno nema širokih mogućnosti za snimanje informacija. Za snimanje informacija u računalnoj tehnologiji koriste se dva stabilna stanja različitih uređaja.

Na disketi ili tvrdom disku, koji se može zamisliti kao da se sastoji od skupa elementarnih magneta, ti se magneti mogu okrenuti sjevernim ili južnim polom prema podlozi. Točka na disku može, ali i ne mora reflektirati svjetlost. Kartica izrađena od debelog papira može, ali i ne mora imati rupu na određenom mjestu. Električni krug može, ali i ne mora provoditi struju. Svjetlo može ali ne mora biti upaljeno. Jednom takvom stanju može se dodijeliti vrijednost 1, drugom 0. Dakle, na jednom memorijskom elementu može biti zapisana ili 0 ili 1.

Ova minimalna količina informacija koja se može zabilježiti na takav medij naziva se malo.

Povijesno gledano, 8 medija za pohranjivanje bilo je spojeno u jednu memorijsku ćeliju, a količina informacija snimljenih u njima nazivana je bajt. Tako 1 bajt = 8 bita.
U jedan bajt možete upisati 2 8 = 256 različitih kombinacija binarnih brojeva, odnosno brojeva koji se sastoje od samo dvije znamenke 0 i 1: 00000000, 00000001, 00000010, 00000011. . . 11111110, 11111111.

Ako pogledate nekoliko memorijskih ćelija, one će sadržavati mnogo nula i jedinica. Adrese memorijskih ćelija također su predstavljene u binarnom obliku. Kako bismo čovjeku olakšali rad s ovakvim informacijama, odlučili smo raditi s njima po pravilima 2. brojevnog sustava. Brojevi ovog sustava mogu se pretvoriti u druge, ljudima poznatije i vizualnije sustave: 8-znamenkasti, 16-znamenkasti, 10-znamenkasti.

Tablica 1.1.2

Dekadski sustav	Binarni sustav	Oktalni sustav	Heksadecimalni sustav
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Tablica 1.1.2 pokazuje koji se simboli koriste kao brojevi u različitim sustavima. Ako se koristi posljednji važeći znak, tada se 0 upisuje u najmanje značajnu znamenku, a 1 u najznačajniju.

Aritmetičke operacije u brojevnim sustavima

Pravila za izvođenje aritmetičkih operacija u decimalnom brojevnom sustavu sačuvana su i za ostale pozicijske brojevne sustave.

Dodatak

Prvo zbrajamo jedinice, zatim desetice itd. dok ne dođemo do najvišeg ranga. Pritom se uvijek sjećamo da kada se pri zbrajanju brojeva u bilo kojoj znamenki dobije zbroj veći od baze, tada ga moramo prenijeti na sljedeću znamenku.

Na primjer 173, 261 8

16, 35 8

Oktalni s.s.

Koristi se za rad s podacima kodiranje, tj. izražavanje podataka jedne vrste u terminima podataka druge vrste.

Računalna tehnologija također ima svoj sustav - zove se binarno kodiranje a temelji se na predstavljanju podataka kao niza od samo dva znaka: 0 i 1. Ti se znakovi nazivaju binarne znamenke, na engleskom - binarna znamenka ili, ukratko, bit (bit).

Jedan bit može izraziti dva pojma: 0 ili 1 (Da ili ne, crna ili bijelo, istina ili laž i tako dalje.). Ako se broj bitova poveća na dva, tada se mogu izraziti četiri različita koncepta:

Tri bita mogu kodirati osam različitih vrijednosti: 000 001 010 011 100 101 110 111

Povećanjem broja bitova u sustavu binarnog kodiranja za jedan, udvostručujemo broj vrijednosti koje se mogu izraziti u ovom sustavu, odnosno opća formula izgleda ovako:

N=2 m , Gdje:

N- broj nezavisnih kodiranih vrijednosti;

T- bitna dubina binarnog kodiranja usvojenog u ovom sustavu.

Budući da je bit tako mala mjerna jedinica, u praksi se češće koristi veća jedinica - bajt, jednak osam bitova.

Koriste se i veće izvedene jedinice podataka:

Kilobajt (KB) = 1024 bajta = 2 10 bajta;

Megabajt (MB) = 1024 KB = 2 20 bajtova;

Gigabajt (GB) = 1024 MB = 230 bajtova.

U posljednje vrijeme, zbog povećanja količine obrađenih podataka, takve izvedene jedinice kao što su:

Terabajt (TB) = 1024 GB = 240 bajtova;

Petabajt (PB) = 1024 TB = 250 bajtova;

Exabyte (Ebyte) = 1024 PB = 260 bajtova.

Kodiranje tekstualnih informacija proizvodi se pomoću američkog standardnog koda za razmjenu informacija ASCII, koji postavlja kodove znakova od 0 do 127. Nacionalni standardi dodjeljuju 1 bajt informacija po znaku i uključuju tablicu ASCII kodova, kao i nacionalne kodove abecede s brojevima od 128 do 255 Trenutno postoji pet različitih kodiranja ćirilice: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh i ISO. Krajem 90-ih pojavio se novi međunarodni standard, Unicode, koji ne dodjeljuje jedan bajt, već dva bajta za svaki znak, te se stoga može koristiti za kodiranje ne već različitih znakova.

Osnovna tablica kodiranja ASCII dat je u tablici.

Kodiranje grafike u boji radi se pomoću rastera, gdje je svaka točka povezana sa svojim brojem boje. U RGB sustavu kodiranja, boja svake točke predstavljena je zbrojem crvene (Red), zelene (Green) i plave (Blue). U CMYK sustavu kodiranja, boja svake točke predstavljena je zbrojem cijan (Cyan), magenta (Magenta), žute (Yellow) i dodatkom crne (Black, K).

Kodiranje analognog signala

Povijesno gledano, prvi tehnološki oblik primanja, prijenosa i pohranjivanja podataka bio je analogni (kontinuirani) prikaz audio, optičkog, električnog ili drugog signala. Da bi primilo takve signale, računalo prvo izvodi analogno-digitalnu pretvorbu.

Analogno-digitalna pretvorba uključuje mjerenje analognog signala u pravilnim vremenskim intervalima τ i kodiranje rezultata mjerenja u n-bitnu binarnu riječ. U ovom slučaju dobiva se niz n-bitnih binarnih riječi koje predstavljaju analogni signal sa zadanom točnošću.

Trenutačni CD standard koristi ono što se naziva "16-bitni audio s brzinom skeniranja od 44 kHz." Za gornju sliku, prevedeno na normalan jezik, to znači da je "duljina koraka" (t) jednaka 1/44000 s, a "visina koraka" (δ) je 1/65,536 maksimalne glasnoće signala (od 2. 16 = 65 536) . U ovom slučaju, frekvencijski raspon reprodukcije je 0-22 kHz, a dinamički raspon je 96 decibela (što je karakteristika kvalitete potpuno nedostižna za magnetsko ili mehaničko snimanje zvuka).

Kompresija podataka.

Količina podataka koji se obrađuju i prenose brzo raste. Razlog tome je implementacija sve složenijih aplikacijskih procesa, pojava novih informacijskih usluga te korištenje slike i zvuka.

Kompresija podataka- proces koji smanjuje količinu podataka. Kompresija vam omogućuje dramatično smanjenje količine memorije potrebne za pohranu podataka i smanjenje (na prihvatljivu veličinu) vremena potrebnog za njihov prijenos. Kompresija slike je posebno učinkovita. Kompresija podataka može se izvršiti pomoću softvera ili hardvera ili kombinacijom metoda.

Sažimanje tekstova povezano je s kompaktnijim izgledom bajtovi, kodiranje znakova. Ovo također koristi brojač ponavljanja razmaka. Što se tiče zvuka i slike, količina informacija koja ih predstavlja ovisi o odabranom koraku kvantizacije i broju bitova analogno-digitalne pretvorbe. Ovdje se u principu koriste iste metode kompresije kao i kod obrade teksta. Ako do kompresije teksta dođe bez gubitka informacija, kompresija zvuka i slike gotovo uvijek dovodi do određenog gubitka informacija. Kompresija se široko koristi u arhiviranju podataka.

Notacija– predstavljanje broja određenim skupom simbola. Sustavi brojeva su:

1. Jednostruki (sustav oznake ili štapića);

2. Nepozicijski (rimski);

3. Pozicijski (decimalni, binarni, oktalni, heksadecimalni, itd.).

Pozicijski je brojevni sustav u kojem kvantitativna vrijednost svake znamenke ovisi o njezinu mjestu (položaju) u broju. Osnova Pozicijski brojevni sustav je cijeli broj koji se može podići na potenciju i jednak je broju znamenki u sustavu.

Binarni brojevni sustav uključuje abecedu od dvije znamenke: 0 i 1.

Oktalni brojevni sustav uključuje abecedu od 8 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

Dekadni brojevni sustav uključuje abecedu od 10 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

Heksadecimalni brojevni sustav uključuje abecedu od 16 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

			A B C D E F

U računalnoj tehnologiji kodiranje se koristi u binarnom brojevnom sustavu, tj. niz od 0 i 1.

Da biste pretvorili cijeli broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, morate izvršiti sljedeći algoritam:

1. Osnovu novog brojevnog sustava izrazite brojevima izvornog brojevnog sustava.

2. Zadani broj dosljedno dijelite s bazom novog brojevnog sustava dok ne dobijete kvocijent manji od djelitelja.

3. Pretvorite dobivena stanja u novi brojevni sustav.

4. Sastavi broj od ostataka u novom brojevnom sustavu počevši od zadnjeg ostatka.

Općenito, u položajnom SS-u s bazom P, bilo koji broj X može se prikazati kao polinom iz baze P:

H = a n R n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

gdje koeficijenti a i mogu biti bilo koje od P znamenki koje se koriste u SS s bazom P.

Pretvaranje brojeva iz 10 SS u bilo koji drugi za cijeli i razlomački dio broja provodi se različitim metodama:

a) cijeli dio broja i međukoličnik se dijele s bazom novog SS, izraženog u 10 SS sve dok kvocijent dijeljenja ne postane manji od baze novog SS. Radnje se izvode u 10 SS. Rezultat su kvocijenti, napisani obrnutim redoslijedom.

b) razlomački dio broja i dobiveni razlomački dijelovi međuproizvoda množe se s bazom novog SS dok se ne postigne navedena točnost ili se u razlomačkom dijelu međuproizvoda ne dobije "0". Rezultat su cijeli dijelovi međuradova, snimljeni redom kojim su zaprimljeni.

Pomoću formule (1) možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav.

Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Primjer 2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

Primjer 3. Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog brojevnog sustava u decimalni SS. Riješenje:

Ovdje A- zamijenjen sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.

Pretvaranje broja 8 (16) u oblik 2 - dovoljno je svaku znamenku ovog broja zamijeniti odgovarajućim 3-bitnim (4-bitnim) binarnim brojem. Odbacite nepotrebne nule u visokim i niskim znamenkama.

Primjer 1: pretvorite broj 305.4 8 u binarni SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Primjer 2: pretvorite broj 9AF,7 16 u binarni SS.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Za pretvaranje 2. broja u 8 (16) SS postupite na sljedeći način: pomičući se od decimalne točke lijevo i desno, podijelite binarni broj u grupe od 3 (4) znamenke, dopunjujući krajnju lijevu i krajnju desnu skupinu nulama ako je potrebno. Svaka grupa se zatim zamjenjuje odgovarajućom oktalnom (16) znamenkom.

Primjer 1: pretvorite broj 110100011110100111,1001101 2 u oktalni SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Primjer 2: Pretvorite broj 110100011110100111.1001101 2 u heksadecimalni SS.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Aritmetičke operacije u svim položajnim brojevnim sustavima brojevi se izvode prema istim pravilima koja su vam dobro poznata.

Dodatak. Razmotrimo zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu. Temelji se na tablici za zbrajanje jednoznamenkastih binarnih brojeva:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Važno je obratiti pozornost na to da kod zbrajanja dviju jedinica dolazi do prelijevanja znamenke i prelaska na najznačajniju znamenku. Do prekoračenja znamenki dolazi kada vrijednost broja u njemu postane jednaka ili veća od baze.

Zbrajanje višebitnih binarnih brojeva događa se u skladu s gornjom tablicom zbrajanja, uzimajući u obzir moguće prijenose s nižih na više znamenke. Kao primjer, dodajmo binarne brojeve 110 2 i 11 2 u stupac:

Oduzimanje. Pogledajmo oduzimanje binarnih brojeva. Temelji se na tablici za oduzimanje jednoznamenkastih binarnih brojeva. Pri oduzimanju većeg broja (1) od manjeg broja (0) posuđuje se od najviše znamenke. U tablici je zajam označen linijom 1.

Množenje. Množenje se temelji na tablici množenja za jednoznamenkaste binarne brojeve:

Podjela. Operacija dijeljenja izvodi se algoritmom sličnim algoritmu za izvođenje operacije dijeljenja u dekadskom brojevnom sustavu. Kao primjer, podijelimo binarni broj 110 2 s 11 2:

Za izvođenje aritmetičkih operacija s brojevima izraženima u različitim brojevnim sustavima potrebno ih je prvo pretvoriti u isti sustav.

Zbrajanje i oduzimanje

U sustavu s bazom brojevi 0, 1, 2, ..., c - 1 koriste se za označavanje nule i prvih c-1 prirodnih brojeva.Za izvođenje operacija zbrajanja i oduzimanja sastavlja se tablica za zbrajanje jednoznamenkastih brojeva.

Tablica 1 - Zbrajanje u binarnom sustavu

Na primjer, tablica sabiranja u heksadecimalnom brojevnom sustavu:

Tablica 2 - Zbrajanje u heksadekadskom sustavu

Zbrajanje bilo koja dva broja zapisana u brojevnom sustavu s bazom c provodi se na isti način kao u decimalnom sustavu, znamenkama, počevši od prve znamenke, pomoću tablice zbrajanja ovog sustava. Brojevi koji se zbrajaju potpisuju se jedan za drugim tako da su znamenke istih znamenki okomite. Rezultat zbrajanja upisuje se ispod vodoravne crte povučene ispod brojeva koji se zbrajaju. Kao i kod zbrajanja brojeva u decimalnom sustavu, u slučaju kada zbrajanjem znamenki u bilo kojoj znamenki dobijemo dvoznamenkasti broj, zadnja znamenka tog broja upisuje se kao rezultat, a prva znamenka pribraja se rezultatu zbrajanja. sljedeća znamenka.

Na primjer,

Navedeno pravilo zbrajanja brojeva možete obrazložiti prikazom brojeva u obliku:

Pogledajmo jedan primjer:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Članove odabiremo redoslijedom prema potenciji baze 7, počevši od najniže, nulte, potencije.

Oduzimanje se također provodi po znamenkama, počevši od najniže, a ako je znamenka umanjenika manja od znamenke umanjenika, tada se jedinica “uzima” od sljedeće znamenke umanjenika i odgovarajuće znamenke umanjenika. oduzima se od dobivenog dvoznamenkastog broja; kada oduzimate znamenke sljedeće znamenke, u ovom slučaju morate mentalno smanjiti znamenku koja se smanjuje za jedan, ali ako se ta znamenka pokaže kao nula (i tada je smanjenje nemoguće), tada biste trebali "posuditi" jednu od sljedeću znamenku, a zatim smanjite za jedan. Nema potrebe za izradom posebne tablice za oduzimanje, jer tablica zbrajanja daje rezultate oduzimanja.

Na primjer,

Množenje i dijeljenje

Za izvođenje operacija množenja i dijeljenja u sustavu s bazom c sastavlja se tablica množenja za jednoznamenkaste brojeve.

Tablica 3 – Množenje jednoznamenkastih brojeva

Tablica 4 - Množenje u heksadekadskom brojevnom sustavu

Množenje dvaju proizvoljnih brojeva u sustavu s bazom c provodi se na isti način kao u decimalnom sustavu - "stupac", odnosno množenik se množi znamenkom svake znamenke množitelja (sekvencijalno) s naknadnim dodavanje ovih međurezultata.

Na primjer,

Prilikom množenja višeznamenkastih brojeva u međurezultatima, osnovni indeks se ne postavlja:

Dijeljenje u sustavima s bazom c vrši se kutom, kao iu decimalnom brojevnom sustavu. U ovom slučaju koristi se tablica množenja i tablica zbrajanja odgovarajućeg sustava. Situacija je kompliciranija ako rezultat dijeljenja nije konačni razlomak (ili cijeli broj). Zatim, kada se izvodi operacija dijeljenja, obično je potrebno izolirati neperiodični dio razlomka i njegovu periodu. Sposobnost izvođenja operacije dijeljenja u c-arnom brojevnom sustavu korisna je pri pretvorbi frakcijskih brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi.

Na primjer:

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Postoji mnogo različitih načina za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi.

Metoda podjele

Neka je dan broj N=an an-1. . . a1 a0 r.

Da bi se dobio zapis broja N u sustavu s bazom h, treba ga predstaviti u obliku:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

gdje 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Iz (1) dobivamo:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, gdje je 0? b0 ?h (3)

Odnosno, broj b0 je ostatak dijeljenja broja N s brojem h. Parcijalni kvocijent Nl = bmhm-1+ . . . +b1 može se predstaviti kao:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, gdje je 0? b2 ?h (4)

Dakle, znamenka bi u zapisu (2) broja N je ostatak dijeljenja prvog nepotpunog kvocijenta N1 s bazom h novog brojevnog sustava. Drugi nepotpuni kvocijent N2 predstavljamo u obliku:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, gdje je 0? b2 ?h (5)

odnosno broj b2 je ostatak dijeljenja drugog nepotpunog kvocijenta N2 s bazom h novog sustava. Budući da se nepotpuni kvocijenti smanjuju, ovaj je proces konačan. I tada dobivamo Nm = bm, gdje je bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Dakle, niz brojeva je bm, bm-1. . ,b1,b0 u zapisu broja N u brojevnom sustavu s bazom h niz je ostataka sekvencijalnog dijeljenja broja N s bazom h, uzet obrnutim redoslijedom.

Pogledajmo primjer: Pretvorite broj 123 u heksadecimalni brojevni sustav:

Dakle, broj 12310=7(11)16 ili se može napisati kao 7B16

Zapišimo broj 340227 u kvinarni brojevni sustav:

Dakle, dobivamo da je 340227=2333315